Matrice associata simmetrica e operatore autoaggiunto
Credevo di aver compreso che nel caso avessi una matrice associata ad un operatore lineare, simmetrica e con i termini sia sulla diagonale che sul resto con valori reali, si potesse affermare che l'operatore è autoaggiunto e si potesse dire che è diagonalizzabile ed ha tutti autovettori distinti.
Risposte
Sia $< F(x), y > = < x, F(y) >$,
sia $v$ base ortonormale
sia $v$ base ortonormale
$F$ si dice autoaggiunto $hArr M_v (F)$ è simmetrica
"Magma":
Sia $< F(x), y > = < x, F(y) >$,
sia $v$ base ortonormale
$F$ si dice autoaggiunto $hArr M_v (F)$ è simmetrica
Questa è la definizione ma il mio obiettivo era di capire al volo nei casi specifici, senza fare calcoli, se la matrice associata è diagonalizzabile.
Io volevo sottolineare che è necessario che la base sia ortonormale.
Questa stessa definizione mi sembra un buon metodo per determinare se un operatore e, quindi, la matrice rappresentativa siano diagonalizzabili o meno: essendo la matrice rappresentativa, rispetto a una base ortonormale, simmetrica, allora l'operatore è autoggiunto e quindi, grazie al teorema spettrale $EE b qquad : qquad M_b(F)$ è diagonale ($b$ base ortonormale di autovettori).
Questa stessa definizione mi sembra un buon metodo per determinare se un operatore e, quindi, la matrice rappresentativa siano diagonalizzabili o meno: essendo la matrice rappresentativa, rispetto a una base ortonormale, simmetrica, allora l'operatore è autoggiunto e quindi, grazie al teorema spettrale $EE b qquad : qquad M_b(F)$ è diagonale ($b$ base ortonormale di autovettori).