Autovettori corrispondenti a autovalori distinti sono linearmente indipendenti

[lepre561]

Allora premetto che ho già cercato su internet la dimostrazione di questo teorema e aggiungo che l'ho si trovato ma solamente con la dimostrazione per induzione.
Il mio prof. l'ha dimostrato per assurdo e credo che lo vorrà essere dimostrato cosi anche per l'esame orale.
Quindi ho un necessario bisogna del vostro aiuto.

Ora provo a dimostrarlo io e desidero che qualcuno mi dica se è corretto e se nel caso non lo fosse gradirei una correzione.

Siano $lambda$1$!=$ $lambda$2
per assurdo pongo che i rispettivi autovettori ,$v1$ e $v2$ , siano dipendenti $v1$ = $kv2$

$f(v1)=lambda v1$ per definizione di autovettore
$f(kv2)=kf(v2)=klambda2v2=lamda2kv2=lambda2v1$
$lambda1v1=lambda2v1$ $rArr$ $(lambda1-lambda2)v1=0$

siccome $v1!=0$ per definizione di autovettore risulta che $lambda1=lambda2=0$ dunque sono linearmente indipendenti

A questo punto credo che la dimostrazione sia conclusa anche se sui miei appunti continua ma non so se sia o meno il continuo della dimostrazione

Grazie per l'attenzione $help ME$

[killing_buddha]

No, hai confuso gli scalari di una combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$ con gli autovalori di cui quei vettori sono autovettori.

[lepre561]

"killing_buddha":No, hai confuso gli scalari di una combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$ con gli autovalori di cui quei vettori sono autovettori.

Quindi $lambda1$ e $lambda2$ non sono gli autovalori???

[lepre561]

nessuno che mi aiuta nella dimostrazione???

[caffeinaplus]

Quella per assurdo è cosi (sono dal cell quindi perdonatemi errori, la costruisco mentalmente mentre scrivo dal cell senza carta e penna)

Dati ${v_1, ... v_k}$ autovettori di $F(v)$ e ognuno di essi ha associato un autovalore distinto ($ \lambda_i != \lambda_j \AA i!= j$ ) allora sono linearmente indipendenti.

Quindi supponiamo siano linearmente dipendenti quindi $a_kv_k = -a_1v_1 - ... -a_(k-1)v_(k-1)$
Quindi applichiamo la funzione ai vettori, ricavando $\lambda_1v_1k_1 + ... \lambda_ka_kv_k=0$

Ma dato il passo precedente possiamo riscrivere

$\-lambda_k(a_1v_1....+a_(k-1)v_(k-1)) = \lambda_1a_1v_1 + ... \lambda_(k-1)a_(k-1)v_(k-1)$

Portiamo tutto dallo stesso lato, raccogliamo e troviamo

$a_1v_1(\lambda_k - \lambda_1 ) + ... a_(k-1)v_(k-1)(\lambda_k - \lambda_(k-1) ) =0$

Ora tiriamo le somme: gli autovettori sono diversi dal vettore nullo per definizione, gli autovalori sono tutti distinti per ipotesi, quindi l'unica possibilità è che gli altri coefficienti siano $0$.Quindi sono linearmente indipendenti

Spero di non aver perso il filo del discorso strada facendo

[dissonance]

"lepre561":
Il mio prof. [...] lo vorrà essere dimostrato cosi anche per l'esame orale.