Scrivere l'equazione di un fascio di piani

[Søren13]

Data una retta r in $A^3(R)$ di equazione r: $z=x+1$ e $y=x-1$, mi chiede di trovare l'equazione del fascio di piani perpendicolari ad $r$ e del fascio di piani contenenti $r$. E di scriverne in seguito anche le equazioni proiettive.
Io innanzitutto ho controllato che i due piani che descrivono $r$ sono incidenti e quindi individuano una retta propria. Calcolando il prodotto scalare fra $(1,0,-1)$ e $(1,-1,0)$ [che sono i coefficienti direttori dei due piani] ho trovato la direzione della retta r e mi viene $(-1,-1,-1)$, quindi la direzione perpendicolare è $(1,1,1)$. Il fascio di piani perpendicolari ad r è fascio improprio di piani paralleli alla direzione $(1,1,1)$, di conseguenza la sua equazione sarà $x+y+z+k=0$, al variare di k. È giusto il ragionamento?
Invece per trovare i piani passanti per r è sufficiente prendere $k(x+1-z)+m(x-y-1)=0$ al variare di m e k. E raccogliendo si ottiene come equazione $(k+m)x-my-kz+k-m=0$.
Per le equazioni proiettive io prenderei $x+y+z+wk=0$ e $(k+m)x-my-kz+(k-m)w=0$. Ma non sono molto convinto di questi ultimi passaggi.