Caratterizzazione dei boreliani
Dato uno spazio topologico uno può considerare la più piccola $\sigma$-algebra che contiene tutta la topologia, questa è una costruzione più che classica che genera la cosiddetta $\sigma$-algebra dei boreliani di uno spazio topologico.
Ero interessato a capire se ci fossero delle caratterizzazioni in termini di aperti e chiusi dei boreliani, in effetti ne conosco una che funziona sui vari $RR^n$ , che però è un casino da scrivere, quindi non la riporto, dico solo che si può trovare sull'Engelking (es 1.3.G), (sinceramente non mi torna tanto nemmeno quella, in particolare non capisco perché si possano fare solamente le intersezioni in corrispondenza degli ordinali limite, ma non è ciò che volevo chiedere in questo post).
Se uno astrae da $RR^n$ si accorge che quella caratterizzazione funziona perché i chiusi sono intersezione numerabile di aperti ($G_\delta$), quindi questa caratterizzazione funziona in tutti gli spazi in cui ogni chiuso è un $G_\delta$, che è una condizione esattamente equivalente all'assioma di separazione $T_6$, quindi vale abbastanza in generale (in particolare negli spazi metrici).
Quello che mi chiedevo è quanto le cose possano andare diversamente in spazi che non sono $T_6$, io mi immagino che possano succedere cose anche molto selvagge, mi date qualche informazione in proposito? Grazie in anticipo.
Ero interessato a capire se ci fossero delle caratterizzazioni in termini di aperti e chiusi dei boreliani, in effetti ne conosco una che funziona sui vari $RR^n$ , che però è un casino da scrivere, quindi non la riporto, dico solo che si può trovare sull'Engelking (es 1.3.G), (sinceramente non mi torna tanto nemmeno quella, in particolare non capisco perché si possano fare solamente le intersezioni in corrispondenza degli ordinali limite, ma non è ciò che volevo chiedere in questo post).
Se uno astrae da $RR^n$ si accorge che quella caratterizzazione funziona perché i chiusi sono intersezione numerabile di aperti ($G_\delta$), quindi questa caratterizzazione funziona in tutti gli spazi in cui ogni chiuso è un $G_\delta$, che è una condizione esattamente equivalente all'assioma di separazione $T_6$, quindi vale abbastanza in generale (in particolare negli spazi metrici).
Quello che mi chiedevo è quanto le cose possano andare diversamente in spazi che non sono $T_6$, io mi immagino che possano succedere cose anche molto selvagge, mi date qualche informazione in proposito? Grazie in anticipo.
Risposte
Questa domanda mi sembra parecchio tecnica. Magari potresti ricordare il risultato di Engelking che citi e potremmo provare a dimostrarlo, giusto per pensare un po'? L'avevo letto ieri perché ero curioso.
Sostanzialmente veniva definita per induzione transfinita a partire da \(\mathcal F_0\) (l'insieme dei chiusi di $RR$), una famiglia di sottoinsiemi di $RR$. Si deve poi dimostrare che i boreliani risultano da \(\mathcal F_{\omega_1}\).
Sostanzialmente veniva definita per induzione transfinita a partire da \(\mathcal F_0\) (l'insieme dei chiusi di $RR$), una famiglia di sottoinsiemi di $RR$. Si deve poi dimostrare che i boreliani risultano da \(\mathcal F_{\omega_1}\).
"killing_buddha":
Questa domanda mi sembra parecchio tecnica. Magari potresti ricordare il risultato di Engelking che citi e potremmo provare a dimostrarlo, giusto per pensare un po'? L'avevo letto ieri perché ero curioso.
Sostanzialmente veniva definita per induzione transfinita a partire da \(\mathcal F_0\) (l'insieme dei chiusi di $RR$), una famiglia di sottoinsiemi di $RR$. Si deve poi dimostrare che i boreliani risultano da \(\mathcal F_{\omega_1}\).
Finalmente ho un po' di tempo per risponderti.
Consideriamo $\mathcal(F_0)$ la famiglia di tutti i chiusi di $X$ e definiamo ricorsivamente $\mathcal(F_(\alpha))$ l'insieme delle unioni numerabili di elementi di $uuu_{\xi<\alpha}\mathcal(F_\xi)$ se $\alpha$ è un ordinale dispari [nota]vedi nota successiva[/nota], mentre è l'insieme delle intersezioni numerabili di elementi di $uuu_{\xi<\alpha}\mathcal(F_\xi)$ se $\alpha$ è un ordinale pari [nota]per definire parità/disparità di un ordinale, l'Engelking si basa su un fatto di teoria degli ordinali, cioè che ogni ordinale si può scrivere in modo unico come ordinale limite più un ordinale finito $n$ e definisce la pari (dispari) un ordinale in cui l'$n$ della rappresentazione è pari (dispari)[/nota].
È ovvio che, anche se definiti su un generico ordinale, questa costruzione si stabilizza entro $\omega_1$, quindi bisogna dimostrare che la $\sigma$-algebra dei boreliani ($\mathcalB$) è $uuu_{\xi<\omega_1}\mathcal(F_\xi)=\mathcalF$.
Ora, evidentemente $\mathcalF\sub\mathcalB$ e dato che stiamo lavorando in uno spazio $T_6$ possiamo scrivere qualsiasi aperto come intersezione numerabile di chiusi.
La cosa che non mi torna è che in base alla definizione di ordinale pari tutti gli ordinali limite sono pari, quindi quando passiamo al limite possiamo solamente fare intersezioni numerabili, io mi chiedo, ma come mai non possiamo fare anche unioni numerabili? Non dovremmo ottenere nemmeno in questo caso solo insiemi che avevamo già anche prima.
Da quando avevo scritto il messaggio un po' ci ho pensato, e mi è venuto in mente che un motivo potrebbe essere che in realtà NON ABBIAMO BISOGNO di fare le unioni numerabili perchè possiamo ottenere la stessa cosa rimescolando in un qualche modo gli insiemi che stiamo unendo/intersecando per scrivere quell'unione come un'intersezione indicizzata all'ordinale limite successivo, ma non sono troppo sicuro di questa idea, e poi non avrei la minima idea da dove poter partire per fare una dimostrazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo