Differenza tra base e sistema di generatori
Buonasera. Ho un'enorme difficoltà nel comprendere la definizione di sistema di generatori e di base. Un sistema è un sistema di generatori quando la sua chiusura lineare coincide con lo spazio. Cioè se sono in R4 e ho quattro vettori? Un sistema può essere non indipendente giusto? e poi un sistema deve coprire tutto lo spazio per forza? Esempio sto in R3 il sistema di generatori deve avere tre vettori o anche più o di meno?
Un sistema di generatori è una base se è indipendente.
Una base deve coprire sempre tutto lo spazio?
Un sottospazio è sempre un sistema di generatori?
Ps. Se potete farmi esempi numerici ne sarei grata.
GRAZIE MILLE IN ANTICIPOOOO
Un sistema di generatori è una base se è indipendente.
Una base deve coprire sempre tutto lo spazio?
Un sottospazio è sempre un sistema di generatori?
Ps. Se potete farmi esempi numerici ne sarei grata.
GRAZIE MILLE IN ANTICIPOOOO
Risposte
"droby98":
Buonasera.
Buonasera.
Ho un'enorme difficoltà nel comprendere la definizione di sistema di generatori e di base. Un sistema è un sistema di generatori quando la sua chiusura lineare coincide con lo spazio.
Esatto.
Cioè se sono in R4 e ho quattro vettori?
No, non per forza, è possibile che con 4 vettori in $RR^4$si generi tutto, ma non succede sempre: esempio ${(1,0,0,0),(2,0,0,0),(3,0,0,0),(4,0,0,0)}$, la sua chiusura lineare è ${(x,0,0,0)|x\inRR}!=RR^4$.
Un sistema può essere non indipendente giusto? e poi un sistema deve coprire tutto lo spazio per forza?
In genere non si parla di sistemi, quanto piuttosto di sottoinsiemi dello spazio, che comunque può essere non indipendente, ma non è nemmeno obbligato a coprire tutto lo spazio, mentre un sistema DI GENERATORI deve coprire lo spazio (nel senso che la sua chiusura lineare è tutto lo spazio) per definizione.
Esempio sto in R3 il sistema di generatori deve avere tre vettori o anche più o di meno?
Si può dimostrare che in $RR^3$ un sistema di generatori DEVE avere almeno 3 elementi (volendo anche di più naturalmente).
Un sistema di generatori è una base se è indipendente.
Una base deve coprire sempre tutto lo spazio?
Si perché è comunque sempre un sistema di generatori.
Un sottospazio è sempre un sistema di generatori?
No, anzi quasi mai, solamente se si prende tutto lo spazio abbiamo qualcosa che sia contemporaneamente un sottospazio che un sistema di generatori.
Io l'ho capita così:
Un sistema di generatori è un insieme "buono abbastanza" per rappresentare un sottospazio V;
Una base per un sottospazio V è un "buon" sistema di generatori;
La base canonica è un' "ottima" base.
Mi spiego:
Dato un sottospazio, per esempio R^2, ci poniamo il problema di trovare un modo di rappresentare ogni punto di tale piano in un modo che faccia a meno della rappresentazione grafica.
Il sistema di riferimento cartesiano, con assi ortonormali, è una base canonica per R^2, quindi il "miglior" modo di rappresentare un punto di R^2. Esso fa uso di una coppia ordinata di numeri reali, che sono la componente di P sull'asse x e la componente di P sull'asse y. è importante notare che se usassimo un solo numero reale anziché due, non potremmo rappresentare ogni punto di R^2. Indichiamo il sistema cartesiano con la base [(1,0), (0,1)], cioè con la base canonica. Questa scrittura ha il seguente significato: il primo vettore, (1,0), ha una componente unitaria lungo l'asse x cartesiano, e il secondo vettore ha una unitaria lungo l'asse y cartesiano.
In effetti, però, ci sono tanti altri sistemi di riferimento che andrebbero bene per rappresentare ogni punto di R^2. Pensiamo sempre di voler usare solo una coppia di numeri. In algebra lineare ci limitiamo a considerare sistemi di riferimento che abbiano l'origine sempre in (0,0), e che abbiano una norma costante (cioè, per esempio, un asse y che scala logaritmicamente non è da contemplare!).
Allora, entro questi limiti, notiamo di avere una certa libertà nella scelta di nuovi sistemi di riferimento: potremmo per esempio fare a meno dell'ortogonalità degli assi: un sistema in cui l'asse y forma un angolo di 30° con l'asse x non ha problemi a rappresentare un qualsiasi punto nel piano come una coppia di numeri. In simboli quindi stiamo dicendo che un insieme del genere [(1,0), (k,j)] è una base. (k,j) indica la nuova posizione dell'asse y cartesiano, con k componente di y' su x, e j componente di y' su y.
Più in generale, possiamo ruotare anche l'asse x. Staremmo dicendo quindi che [(l,m), (k,j)] è una base.
L'altro grado di libertà che abbiamo consiste nel modificare la norma dei nostri assi: cioè, per esempio, potremmo "allungare l'asse y di 2". In questo caso, un punto P che prima aveva coordinate (a,b) adesso avrebbe coordinate (a,b/2). Noterai che anche in questo caso, non abbiamo problemi a rappresentare un punto qualsiasi attraverso una coppia ordinata di reali.
In generale possiamo moltiplicare la norma di un asse per un qualsiasi reale, anche negativo. Scegliere un nuovo asse y di norma -1 significherebbe ribaltare l'orientamento dell'asse y. In simboli: [(a,0),(0,b)] è una base.
Ci sono dei casi che dobbiamo però scongiurare:
1) Assi paralleli (cioè coincidenti). Il problema è che infiniti punti distinti di R^2 si troveranno con coordinate uguali. Prendi una qualsiasi retta perpendicolare ai due assi e noterai che tutti i punti di tale retta avranno le stesse coordinate. In pratica la scelta di assi paralleli sarebbe impratica per lavorare su R^2.
2) Uno (o più assi) di norma nulla. Il perché è banale.
Quindi, finché evitiamo questi due casi degeneri, abbiamo valide basi di R^2.
Per capire cos'è un sistema di generatori, il discorso adesso è davvero semplice. Immagina di voler usare non solo gli assi x e y ma anche un terzo asse z, che giaccia comunque sullo stesso piano, per rappresentare tutti i punti del piano. In questo caso un punto sarebbe espressa come una terna ordinata di reali. Ancora, non ci sarebbero problemi nel ricostruire un grafico se avessimo solo la lista scritta dei punti del grafico con le loro coordinate.
Notiamo però che un punto, in questo modo, può essere espresso con più di una terna: potremmo scriverlo come k volte la norma di x + j volte la norma di y, cioè come (k,j,0), o come j volte la norma di y e i volte la norma di z, cioè come (0,j,i) o infine anche come (k,0,i). Abbiamo, cioè, perso la biunivocità scrittura - punto. Poco male, diciamo che questo sistema di generatori non è una base per R^2.
Detta alla buona, un sistema di generatori in generale, può avere assi ridondanti/superflui. E' invece una base un sistema di generatori che usa il numero giusto di assi, non troppi pochi, non troppi.
Una volta che avrai definito il concetto di span, questo sarà ancora più chiaro, e potrai vedere il metodo degli scarti come un metodo per "ottimizzare" un sistema di generatori, cioè di aggiustarlo in modo tale da farlo diventare una base. Sempre grazie al concetto di span potrai rivedere sotto una nuova luce i casi degeneri prima illustrati.
Un sistema di generatori è un insieme "buono abbastanza" per rappresentare un sottospazio V;
Una base per un sottospazio V è un "buon" sistema di generatori;
La base canonica è un' "ottima" base.
Mi spiego:
Dato un sottospazio, per esempio R^2, ci poniamo il problema di trovare un modo di rappresentare ogni punto di tale piano in un modo che faccia a meno della rappresentazione grafica.
Il sistema di riferimento cartesiano, con assi ortonormali, è una base canonica per R^2, quindi il "miglior" modo di rappresentare un punto di R^2. Esso fa uso di una coppia ordinata di numeri reali, che sono la componente di P sull'asse x e la componente di P sull'asse y. è importante notare che se usassimo un solo numero reale anziché due, non potremmo rappresentare ogni punto di R^2. Indichiamo il sistema cartesiano con la base [(1,0), (0,1)], cioè con la base canonica. Questa scrittura ha il seguente significato: il primo vettore, (1,0), ha una componente unitaria lungo l'asse x cartesiano, e il secondo vettore ha una unitaria lungo l'asse y cartesiano.
In effetti, però, ci sono tanti altri sistemi di riferimento che andrebbero bene per rappresentare ogni punto di R^2. Pensiamo sempre di voler usare solo una coppia di numeri. In algebra lineare ci limitiamo a considerare sistemi di riferimento che abbiano l'origine sempre in (0,0), e che abbiano una norma costante (cioè, per esempio, un asse y che scala logaritmicamente non è da contemplare!).
Allora, entro questi limiti, notiamo di avere una certa libertà nella scelta di nuovi sistemi di riferimento: potremmo per esempio fare a meno dell'ortogonalità degli assi: un sistema in cui l'asse y forma un angolo di 30° con l'asse x non ha problemi a rappresentare un qualsiasi punto nel piano come una coppia di numeri. In simboli quindi stiamo dicendo che un insieme del genere [(1,0), (k,j)] è una base. (k,j) indica la nuova posizione dell'asse y cartesiano, con k componente di y' su x, e j componente di y' su y.
Più in generale, possiamo ruotare anche l'asse x. Staremmo dicendo quindi che [(l,m), (k,j)] è una base.
L'altro grado di libertà che abbiamo consiste nel modificare la norma dei nostri assi: cioè, per esempio, potremmo "allungare l'asse y di 2". In questo caso, un punto P che prima aveva coordinate (a,b) adesso avrebbe coordinate (a,b/2). Noterai che anche in questo caso, non abbiamo problemi a rappresentare un punto qualsiasi attraverso una coppia ordinata di reali.
In generale possiamo moltiplicare la norma di un asse per un qualsiasi reale, anche negativo. Scegliere un nuovo asse y di norma -1 significherebbe ribaltare l'orientamento dell'asse y. In simboli: [(a,0),(0,b)] è una base.
Ci sono dei casi che dobbiamo però scongiurare:
1) Assi paralleli (cioè coincidenti). Il problema è che infiniti punti distinti di R^2 si troveranno con coordinate uguali. Prendi una qualsiasi retta perpendicolare ai due assi e noterai che tutti i punti di tale retta avranno le stesse coordinate. In pratica la scelta di assi paralleli sarebbe impratica per lavorare su R^2.
2) Uno (o più assi) di norma nulla. Il perché è banale.
Quindi, finché evitiamo questi due casi degeneri, abbiamo valide basi di R^2.
Per capire cos'è un sistema di generatori, il discorso adesso è davvero semplice. Immagina di voler usare non solo gli assi x e y ma anche un terzo asse z, che giaccia comunque sullo stesso piano, per rappresentare tutti i punti del piano. In questo caso un punto sarebbe espressa come una terna ordinata di reali. Ancora, non ci sarebbero problemi nel ricostruire un grafico se avessimo solo la lista scritta dei punti del grafico con le loro coordinate.
Notiamo però che un punto, in questo modo, può essere espresso con più di una terna: potremmo scriverlo come k volte la norma di x + j volte la norma di y, cioè come (k,j,0), o come j volte la norma di y e i volte la norma di z, cioè come (0,j,i) o infine anche come (k,0,i). Abbiamo, cioè, perso la biunivocità scrittura - punto. Poco male, diciamo che questo sistema di generatori non è una base per R^2.
Detta alla buona, un sistema di generatori in generale, può avere assi ridondanti/superflui. E' invece una base un sistema di generatori che usa il numero giusto di assi, non troppi pochi, non troppi.
Una volta che avrai definito il concetto di span, questo sarà ancora più chiaro, e potrai vedere il metodo degli scarti come un metodo per "ottimizzare" un sistema di generatori, cioè di aggiustarlo in modo tale da farlo diventare una base. Sempre grazie al concetto di span potrai rivedere sotto una nuova luce i casi degeneri prima illustrati.
Cioè se sono in R4 e ho quattro vettori?
No, non per forza, è possibile che con 4 vettori in $RR^4$si generi tutto, ma non succede sempre: esempio ${(1,0,0,0),(2,0,0,0),(3,0,0,0),(4,0,0,0)}$, la sua chiusura lineare è ${(x,0,0,0)|x\inRR}!=RR^4$.
Questo esempio è un sistema di generatori giusto?
No, perché per l'appunto la sua chiusura lineare è ${(x,0,0,0)|x\inRR}$, che non è assolutamente tutto lo spazio.
"otta96":
No, perché per l'appunto la sua chiusura lineare è ${(x,0,0,0)|x\inRR}$, che non è assolutamente tutto lo spazio.
grazie mille
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