$NN$ e \(\{1/n\}\cup \{0\}\) sono debolmente equivalenti
Sia $NN$ l'insieme $\{0,1,2,...\}$ con la topologia discreta, e sia \(C = \{0\} \cup \{1/n \mid n\ge 1\}\subset \mathbb R\) con la topologia indotta dall'inclusione; mostrate che esiste una mappa $NN \to C$ che è un'equivalenza omotopica debole.
Risposte
Ci voglio provare: sia $f:NN->C, f(0)=0,f(n)=1/n$, questa mappa è continua perché il dominio ha la discreta, il fatto che la mappa indotta tra i $pi_0$ è dovuto al fatto che entrambi gli spazi siano totalmente sconnessi per archi e che $f$ è una biezione, e per far vedere che la restrizione ad ogni componente connessa per archi induce un isomorfismo tra i $pi_n$ delle componenti connesse come richiesto dalla definizione, è sufficiente mostrare che $pi_n({x_0})={e},AAn\inNN*$.
Lo faccio per induzione: $n=1$ l'insieme che dobbiamo quozientare per ottenere il $pi_1$ è fatto da un solo elemento (infatti i singoletti sono oggetti terminali di \(\bf Set\)
), quindi $pi_1({x_0})$ è il gruppo banale.
Se è vero per $n-1$, si che per definizione $pi_n({x_0})=pi_(n-1)({x_0}^I)$, dove $I=[0,1]$, ma per quanto detto prima, ${x_0}^I$ ha cardinalità $1$, quindi per ipotesi induttiva, $pi_n({x_0})={e}$.
Fatto bene?
[ot]Ma che ti prende, com'è che fai esercizi così facili? Cioè, l'ho persino capito! (credo)
[/ot]
Lo faccio per induzione: $n=1$ l'insieme che dobbiamo quozientare per ottenere il $pi_1$ è fatto da un solo elemento (infatti i singoletti sono oggetti terminali di \(\bf Set\)
), quindi $pi_1({x_0})$ è il gruppo banale.Se è vero per $n-1$, si che per definizione $pi_n({x_0})=pi_(n-1)({x_0}^I)$, dove $I=[0,1]$, ma per quanto detto prima, ${x_0}^I$ ha cardinalità $1$, quindi per ipotesi induttiva, $pi_n({x_0})={e}$.
Fatto bene?
[ot]Ma che ti prende, com'è che fai esercizi così facili? Cioè, l'ho persino capito! (credo)
[/ot]
Mi sembra chiaro che il $\pi_n$ di ciascuna componente connessa del tipo \(1/n_0\) sia zero, per ogni $n\ge 0$: ma qual è la componente connessa di zero in $C$, e per quale motivo questa componente connessa è contraibile (come ciascuna delle componenti connesse di $NN$)?
Poi, non so da dove ti venga fuori quell'isomorfismo \(\pi_n(-)\cong pi_{n-1}((-)^I)\), ma credo tu ti confonda con il fatto che (praticamente per definizione) \(\pi_n(X) = \pi_{n-1}(\Omega X)\), dove $\Omega X$ è il loop space di X. Senza contare che nel caso di un punto, comunque, $\{x\}^I\cong \{x}$, ma del resto questo è vero se ad $X$ sostituisci qualsiasi altro spazio $Y$...
Poi, non so da dove ti venga fuori quell'isomorfismo \(\pi_n(-)\cong pi_{n-1}((-)^I)\), ma credo tu ti confonda con il fatto che (praticamente per definizione) \(\pi_n(X) = \pi_{n-1}(\Omega X)\), dove $\Omega X$ è il loop space di X. Senza contare che nel caso di un punto, comunque, $\{x\}^I\cong \{x}$, ma del resto questo è vero se ad $X$ sostituisci qualsiasi altro spazio $Y$...
Per ora non ho letto il link, ti rispondo al vecchio messaggio e lo leggo.
Beh, ovviamente la componente di $0$ è ${0}$ perché le componenti formano una partizione dello spazio e visto che $AAn\inNN,{1/n}$ è una componente in quanto $1/n$ è un punto isolato in uno spazio $T_1$, quindi ${0}\subC_0\sub(C\setminus{1/n|n\inNN})=>C_0={0}={0}$, dunque essenso un punto è contraibile.
Hai ragione, ho confuso la definizione di $pi_n$, che tra l'altro avevo fatto giusto il giorno prima a lezione
, allora lo aggiusto: $pi_n({x_0})=pi_(n-1)(\Omega_({x_0},x_0),c)$ dove $c$ è il laccio costante a $x_0$ e $\Omega_({x_0},x_0)$ è l'insieme dei lacci nello spazio con punto base $x_0$ (a me è stata data questa come definizione, stavolta ho controllato).
Ma sempre per lo stesso discorso fatto anche nel tentativo precedente, si ha che $\Omega_({x_0},x_0)$ è solo un punto, quindi per ipotesi induttiva, ha $pi_(n-1)$ banale.
Ora va bene?
"killing_buddha":
Mi sembra chiaro che il $\pi_n$ di ciascuna componente connessa del tipo \(1/n_0\) sia zero, per ogni $n\ge 0$: ma qual è la componente connessa di zero in $C$, e per quale motivo questa componente connessa è contraibile (come ciascuna delle componenti connesse di $NN$)?
Beh, ovviamente la componente di $0$ è ${0}$ perché le componenti formano una partizione dello spazio e visto che $AAn\inNN,{1/n}$ è una componente in quanto $1/n$ è un punto isolato in uno spazio $T_1$, quindi ${0}\subC_0\sub(C\setminus{1/n|n\inNN})=>C_0={0}={0}$, dunque essenso un punto è contraibile.
Poi, non so da dove ti venga fuori quell'isomorfismo \(\pi_n(-)\cong pi_{n-1}((-)^I)\), ma credo tu ti confonda con il fatto che (praticamente per definizione) \(\pi_n(X) = \pi_{n-1}(\Omega X)\), dove $\Omega X$ è il loop space di X. Senza contare che nel caso di un punto, comunque, $\{x\}^I\cong \{x}$, ma del resto questo è vero se ad $X$ sostituisci qualsiasi altro spazio $Y$...
Hai ragione, ho confuso la definizione di $pi_n$, che tra l'altro avevo fatto giusto il giorno prima a lezione
, allora lo aggiusto: $pi_n({x_0})=pi_(n-1)(\Omega_({x_0},x_0),c)$ dove $c$ è il laccio costante a $x_0$ e $\Omega_({x_0},x_0)$ è l'insieme dei lacci nello spazio con punto base $x_0$ (a me è stata data questa come definizione, stavolta ho controllato).Ma sempre per lo stesso discorso fatto anche nel tentativo precedente, si ha che $\Omega_({x_0},x_0)$ è solo un punto, quindi per ipotesi induttiva, ha $pi_(n-1)$ banale.
Ora va bene?
"otta96":
[quote="killing_buddha"]Mi sembra chiaro che il $\pi_n$ di ciascuna componente connessa del tipo \(1/n_0\) sia zero, per ogni $n\ge 0$: ma qual è la componente connessa di zero in $C$, e per quale motivo questa componente connessa è contraibile (come ciascuna delle componenti connesse di $NN$)?
Beh, ovviamente la componente di $0$ è ${0}$ perché le componenti formano una partizione dello spazio [/quote]
Sì, è vero; un altro modo è osservare che $L$ essendo un sottospazio di $RR$ è connesso se e solo se lo è per archi; adesso però un cammino $[0,1]\to L$ deve essere costante (o non assume 0 come valore, e hai finito, o lo assume, e hai finito lo stesso).
$pi_n({x_0})=pi_(n-1)(\Omega_({x_0},x_0),c)$ dove $c$ è il laccio costante a $x_0$ e $\Omega_({x_0},x_0)$ è l'insieme dei lacci nello spazio con punto base $x_0$ (a me è stata data questa come definizione, stavolta ho controllato).
Ma sempre per lo stesso discorso fatto anche nel tentativo precedente, si ha che $\Omega_({x_0},x_0)$ è solo un punto, quindi per ipotesi induttiva, ha $pi_(n-1)$ banale.
Sì; come vedi io ho fatto diversamente, usando la definizione e quello che ho chiamato secondo lemma nel mio post su MSE. Comunque è lo stesso, la ragione per cui mi interessava era capire la cosa che ho postato su MSE.
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