Topologia su $NN$ particolare
Esiste una topologia su $NN$ tale che è $T_2$ e esistono funzioni continue non costanti da $RR$ con l'euclidea in $NN$?
L'ultima condizione ad occhio mi sembra che sia equivalente a dire che non è totalmente sconnesso per archi.
Se imponiamo come condizione che ne deve esistere pure una suriettiva (di funzioni continue)?
L'ultima condizione ad occhio mi sembra che sia equivalente a dire che non è totalmente sconnesso per archi.
Se imponiamo come condizione che ne deve esistere pure una suriettiva (di funzioni continue)?
Risposte
Un inizio.
E' pieno di spazi $X$ che sono T_2, connessi (persino con topologia metrizzabile), e che sono numerabili. Ora, qualsiasi biiezione $\varphi : NN \to X$ rende $NN$ ed $X$ omeomorfi definendo la topologia pull-back[1] su $NN$, che quindi diventa Hausdorff, connesso, compatto e metrizzabile.
Un esempio di tale $X$ è lo spazio proiettivo razionale \(\mathbb{QP}^\infty\). E' ora sufficiente dimostrare che questo spazio ammette un cammino noncostante \(\gamma : [0,1] \to \mathbb{QP}^\infty\). Questa è conseguenza di una proprietà di separazione, credo: a \(\mathbb{QP}^\infty\) manca molto poco per essere uno spazio regolare.
[1] Se $f : A\to X$ è biiettiva e $X$ ha una topologia $\tau$, c'è sempre una topologia su $A$ che rende $f$ un omeomorfismo, basta prendere \(f^*\tau := \{f^{-1}U\mid U\in\tau\}\).
E' pieno di spazi $X$ che sono T_2, connessi (persino con topologia metrizzabile), e che sono numerabili. Ora, qualsiasi biiezione $\varphi : NN \to X$ rende $NN$ ed $X$ omeomorfi definendo la topologia pull-back[1] su $NN$, che quindi diventa Hausdorff, connesso, compatto e metrizzabile.
Un esempio di tale $X$ è lo spazio proiettivo razionale \(\mathbb{QP}^\infty\). E' ora sufficiente dimostrare che questo spazio ammette un cammino noncostante \(\gamma : [0,1] \to \mathbb{QP}^\infty\). Questa è conseguenza di una proprietà di separazione, credo: a \(\mathbb{QP}^\infty\) manca molto poco per essere uno spazio regolare.
[1] Se $f : A\to X$ è biiettiva e $X$ ha una topologia $\tau$, c'è sempre una topologia su $A$ che rende $f$ un omeomorfismo, basta prendere \(f^*\tau := \{f^{-1}U\mid U\in\tau\}\).
No, quell'esempio non va bene, \(\mathbb{QP}^\infty\) è completamente sconnesso per archi. Del resto il motivo per cui non lo è spiega perché: come conseguenza del lemma di Urysohn tutti gli spazi di Hausdorff e numerabili sono completamente sconnessi per archi.
Wow, la dimostrazione che fa quel tizio è spettacolare, comincio a capire perché ti piace tanto...
Comunque la cosa che dicevo all'inizio (totalmente sconnesso per archi $<=>$ ogni funzione continua da $RR$ nello spazio è costante) direi che ragionandoci giusto un pochino si vede che è vera.
Però c'è una cosa che vorrei chiederti, l'esistenza di uno spazio numerabile, di Hausdorff e connesso la conoscevo già, ma come può essere anche metrizzabile?
Comunque la cosa che dicevo all'inizio (totalmente sconnesso per archi $<=>$ ogni funzione continua da $RR$ nello spazio è costante) direi che ragionandoci giusto un pochino si vede che è vera.
Però c'è una cosa che vorrei chiederti, l'esistenza di uno spazio numerabile, di Hausdorff e connesso la conoscevo già, ma come può essere anche metrizzabile?
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