Esercizio su un insieme libero.
Buonasera,
N.b. E' un esercizio che fa riferimento a diversi insiemi di vettori, vi riporto solo il primo dove nutro una maggiore incertezza
Si stabilisca se i seguenti vettori di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) formano:
1) Un insieme libero. In caso affermativo, completarlo per ottenere una base di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) , altrimenti determinare le relazioni di dipendenza lineare tra di loro ed estrarre da questo insieme di vettori almeno un insieme libero.
2) Un insieme di generatori, in caso affermativo, estrarne almeno una base di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) , altrimenti determinare la dimensione del sottospazio generato.
I vettori :
\(\displaystyle A=( v_1=(1,1,1,1) v_2=(0,1,2,-1), v_3=(1,0,-2,3), v_4=(2,1,0,1),v_5=(4,3,2,1)) \).
Io l'ho imposto cosi, ditemi se giusto o ci sono modi più eleganti.
Considerando la def. di base, posso dire che il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) è 4, allora posso dire che l'insieme \(\displaystyle A \) è sicuramente un insieme libero.
Adesso chiede di completarlo per ottenere una base ma non va presa in considerazione "penso" questa, perché già abbiamo un insieme i cui vettori sono linearmente indipendenti.
Dopo mi chiede di determinare le relazioni di dipendenza lineare tra di loro ed estrarre da questo insieme di vettori almeno un insieme libero ??
Il mio blocco è ma se ho un insieme di vettori linearmente indipendenti, e so che ogni altrio vettore di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) risulta combinazione lineare dei rimanenti, non hanno senso le altre domande.
N.b. E' un esercizio che fa riferimento a diversi insiemi di vettori, vi riporto solo il primo dove nutro una maggiore incertezza
Si stabilisca se i seguenti vettori di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) formano:
1) Un insieme libero. In caso affermativo, completarlo per ottenere una base di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) , altrimenti determinare le relazioni di dipendenza lineare tra di loro ed estrarre da questo insieme di vettori almeno un insieme libero.
2) Un insieme di generatori, in caso affermativo, estrarne almeno una base di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) , altrimenti determinare la dimensione del sottospazio generato.
I vettori :
\(\displaystyle A=( v_1=(1,1,1,1) v_2=(0,1,2,-1), v_3=(1,0,-2,3), v_4=(2,1,0,1),v_5=(4,3,2,1)) \).
Io l'ho imposto cosi, ditemi se giusto o ci sono modi più eleganti.
Considerando la def. di base, posso dire che il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) è 4, allora posso dire che l'insieme \(\displaystyle A \) è sicuramente un insieme libero.
Adesso chiede di completarlo per ottenere una base ma non va presa in considerazione "penso" questa, perché già abbiamo un insieme i cui vettori sono linearmente indipendenti.
Dopo mi chiede di determinare le relazioni di dipendenza lineare tra di loro ed estrarre da questo insieme di vettori almeno un insieme libero ??
Il mio blocco è ma se ho un insieme di vettori linearmente indipendenti, e so che ogni altrio vettore di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) risulta combinazione lineare dei rimanenti, non hanno senso le altre domande.
Risposte
Ma libero cosa significa per te?
Io penso significhi "composto da vettori linearmente indipendenti", no?
Io penso significhi "composto da vettori linearmente indipendenti", no?
Hey Bremen000,
si esattamente.
Quando dice: In caso affermativo, completarlo per ottenere una base;
dovrei procedere nel seguente modo?
per def. di base occorre
1) che i vettori siano linearmente indipendenti; quindi la prima condizione è sodisfatta
2) e far vedere che sono un sistema di generatori.
Per far vedere la 2); devo far vedere che tra i vettori \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 )\) c'è ne uno che risulti combinazione lineare dei rimanenti.
si esattamente.
Quando dice: In caso affermativo, completarlo per ottenere una base;
dovrei procedere nel seguente modo?
per def. di base occorre
1) che i vettori siano linearmente indipendenti; quindi la prima condizione è sodisfatta
2) e far vedere che sono un sistema di generatori.
Per far vedere la 2); devo far vedere che tra i vettori \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 )\) c'è ne uno che risulti combinazione lineare dei rimanenti.
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