Matrice di cambiamento base duale
Salve a tutti, ho un quesito che mi ha mandato in palla.
Si consideri due basi $e,$ $f$ di uno spazio vettoriale reale, denotiamo le rispettive basi duali con $e^{\star}$ e $f^{\star}$.
Che relazione c'è tra la matrice di cambiamento di base $M_e^f$ e la matrice di cambiamento di base $M_{e^\star}^{f^\star}$?
Facendo riferimento al pairing naturale a me viene così: $\forall v \in V,$ $\forall x\in V^\star$ $x(v)=\langle x_{e^star},M_e^f v_f \rangle=\sum_{i=1}^n x_i (\sum_{j=1}^n m_{ij}v_j)=\langle(M_e^f)^T x_{e^star},v_f\rangle.$
Ho usato notazioni piuttosto intuitive, non penso che ci sia bisogno di spiegarvele, nel pedice dei "vettori" ho espresso le basi rispetto a cui sono individuate le coordinate, lo spazio vettoriale è $V$ mentre la dimensione è $n$, e la matrice $M$ l'ho indicata con componenti $m_{ij}$.
Quindi a questo punto viene da dire che $M_{f^\star}^{e^\star}=(M_e^f)^T$ quindi $M_{e^\star}^{f^\star}=(M_{f^\star}^{e^\star})^{-1}=((M_e^f)^T)^{-1}.$
Se sbaglio, dove sbaglio?
Si consideri due basi $e,$ $f$ di uno spazio vettoriale reale, denotiamo le rispettive basi duali con $e^{\star}$ e $f^{\star}$.
Che relazione c'è tra la matrice di cambiamento di base $M_e^f$ e la matrice di cambiamento di base $M_{e^\star}^{f^\star}$?
Facendo riferimento al pairing naturale a me viene così: $\forall v \in V,$ $\forall x\in V^\star$ $x(v)=\langle x_{e^star},M_e^f v_f \rangle=\sum_{i=1}^n x_i (\sum_{j=1}^n m_{ij}v_j)=\langle(M_e^f)^T x_{e^star},v_f\rangle.$
Ho usato notazioni piuttosto intuitive, non penso che ci sia bisogno di spiegarvele, nel pedice dei "vettori" ho espresso le basi rispetto a cui sono individuate le coordinate, lo spazio vettoriale è $V$ mentre la dimensione è $n$, e la matrice $M$ l'ho indicata con componenti $m_{ij}$.
Quindi a questo punto viene da dire che $M_{f^\star}^{e^\star}=(M_e^f)^T$ quindi $M_{e^\star}^{f^\star}=(M_{f^\star}^{e^\star})^{-1}=((M_e^f)^T)^{-1}.$
Se sbaglio, dove sbaglio?
Risposte
Non so se sbagli ma è il risultato che mi aspetterei. Infatti mi aspetto una trasposizione, per via della dualità, e mi aspetto una inversione perché in queste cose le basi duali vanno sempre "al contrario". Se passa da qua killing buddha forse ci spiega perché in termini di funtori covarianti e controvarianti.
Pronti! La dualità \((-)^\lor = \hom(-,k)\) è un funtore controvariante per definizione; allora (scelte delle basi, che è l'unico senso in cui questo è vero) il quadrato
\[
\begin{CD}
V @>f>> V \\
@VVV @VVV\\
V^\lor @>>f^\lor> V^\lor
\end{CD}
\] è commutativo con degli isomorfismi \(e_i\mapsto e_i^\lor\) (in $V$) e \(f_j \mapsto f_j^\lor\) (in $W$). Questo determina univocamente la freccia orizzontale inferiore; dovremmo ora vedere a cosa corrisponde \(f^\lor\) nei termini delle basi che hai scelto; è sufficiente far vedere cos'è sulla base \(e_i^\lor\), ed è il conto che hai fatto tu.
\[
\begin{CD}
V @>f>> V \\
@VVV @VVV\\
V^\lor @>>f^\lor> V^\lor
\end{CD}
\] è commutativo con degli isomorfismi \(e_i\mapsto e_i^\lor\) (in $V$) e \(f_j \mapsto f_j^\lor\) (in $W$). Questo determina univocamente la freccia orizzontale inferiore; dovremmo ora vedere a cosa corrisponde \(f^\lor\) nei termini delle basi che hai scelto; è sufficiente far vedere cos'è sulla base \(e_i^\lor\), ed è il conto che hai fatto tu.
Grazie
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