Retta appartenente al piano
Studiando:
$⟨(1, 1, 1, 0), (2, 0, 1, 1)⟩$ la retta parametrica $γ(t) = (0, 0, 0, 1) + t(1, −1, 0, 1)$
devo dire se
$A:$ sghemba
$B:$ nessuna delle altre
$C:$ incidente
$D:$ parallela senza punti comuni col piano
$E:$ giacente sul piano
ne ho studiato l'intersezione così: $alpha*t+beta*v=x_0+r$
non trovo soluzioni quindi la retta non è incidente al piano.
Non mi torna il concetto di sghembe tra piano e retta, se la retta non è incidente al piano posso avere solo 2 casi:
la retta è comunque parallela al piano ma può essere appartenergli o no, nell'ultimo caso come lo si capisce?
$⟨(1, 1, 1, 0), (2, 0, 1, 1)⟩$ la retta parametrica $γ(t) = (0, 0, 0, 1) + t(1, −1, 0, 1)$
devo dire se
$A:$ sghemba
$B:$ nessuna delle altre
$C:$ incidente
$D:$ parallela senza punti comuni col piano
$E:$ giacente sul piano
ne ho studiato l'intersezione così: $alpha*t+beta*v=x_0+r$
non trovo soluzioni quindi la retta non è incidente al piano.
Non mi torna il concetto di sghembe tra piano e retta, se la retta non è incidente al piano posso avere solo 2 casi:
la retta è comunque parallela al piano ma può essere appartenergli o no, nell'ultimo caso come lo si capisce?
Risposte
$(2,0,1,1)-(1,1,1,0)=(1,-1,0,1) => pi || r$
non ti resta che vedere se il punto appartiene al piano o meno.
non ti resta che vedere se il punto appartiene al piano o meno.
"anto_zoolander":
$(2,0,1,1)-(1,1,1,0)=(1,-1,0,1) => pi || r$
non ti resta che vedere se il punto appartiene al piano o meno.
Questo mi dice che il vettore della retta è combinazione lineare dei vettori del piano però non capisco che significa $=> pi || r$?
$||$ sarebbe il simbolo di parallelismo.
Devi vedere se il parallelismo è proprio o improprio, ovvero se la retta sia contenuta o meno nel piano.
Ricorda che se $r || pi$ e $rcappi ne emptyset$ allora $r subsetpi$
Devi vedere se il parallelismo è proprio o improprio, ovvero se la retta sia contenuta o meno nel piano.
Ricorda che se $r || pi$ e $rcappi ne emptyset$ allora $r subsetpi$
"anto_zoolander":
Devi vedere se il parallelismo è proprio o improprio, ovvero se la retta sia contenuta o meno nel piano.
Ricorda che se $r || pi$ e $rcappi ne emptyset$ allora $r subsetpi$
Concetto chiarissimo, ma ho poco chiaro come capire se la retta sia contenuta o meno nel piano, in particolare come è stata ricavata questa relazione $(2,0,1,1)−(1,1,1,0)=(1,−1,0,1)$. Cioè il metodo da applicare?
Ho solo mostrato che i tre vettori siano linearmente dipendenti e in particolare che il vettore direttore della retta sia combinazione lineare dei vettori direttori del piano. Questo si fa ad occhio.
Poiché il piano passa per l’origine, se $P=(0,0,0,1)$ sta nel piano allo ra $vec(OP)$ appartiene alla giacitura del piano e quindi il vettore $vec(OP)=(0,0,0,1)$ deve appartenere al piano. In poche parole devi mostrare se veramente ci appartiene.
Poiché il piano passa per l’origine, se $P=(0,0,0,1)$ sta nel piano allo ra $vec(OP)$ appartiene alla giacitura del piano e quindi il vettore $vec(OP)=(0,0,0,1)$ deve appartenere al piano. In poche parole devi mostrare se veramente ci appartiene.
"anto_zoolander":
Ho solo mostrato che i tre vettori siano linearmente dipendenti e in particolare che il vettore direttore della retta sia combinazione lineare dei vettori direttori del piano. Questo si fa ad occhio.
ah ok! Ma sapere che il vettore è combinazione lineare degli altri due a cosa mi serve?
Immagino perchè è necessario affinché dimostri che la retta appartiene al piano, poi al punto successivo dovrò completare la verifica affermando anche che il punto $P=(0,0,0,1)$ appartiene al piano.
giusto?
Quindi operativamente devo dimostrare che ci sia combinazione lineare e apparenza del punto x_0 al piano, corretto?
Per la prima domanda basta svolgi una generica equazione per trovare una dipendenza lineare.
Sai che se $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente dipendenti se e solo se esistono $a,b,c inK$ non nulli tali che $av_1+bv_2+cv_3=0$ è così trovi la relazione di dipendenza lineare, nel caso in cui siano linearmente indipendenti ti vengono tutti nulli
Allora in realtà dovresti mostrare che l’intersezione sia non vuota ovvero che ‘almeno un punto’ appartiene alla intersezione. Se ci appartiene $(0,0,0,1)$ hai finito, altrimenti non puoi concludere nulla.
Puoi provare a mostrare che dato un generico punto $P$ della retta di coordinate $P(x,y,z,t)$ esiste armento una quaterna di coefficienti tali che $P(x_0,y_0,z_0,t_0)$ appartenga al piano.
In questo caso se $X$ è un generico punto della retta allora avrai $vec(PX)=lambda(1,-1,0,1)$
Ovvero $vec(OX)=vec(OP)+lambda(1,-1,0,1)$ da cui ottiene che le coordinate di $X$ saranno
$X(lambda,-lambda,0,lambda+1)$
Chiaramente essendo $pi:=O+W_(pi)$ allora $X in pi <=> vec(OX)inW_(pi)$ ovvero se e solo se $vec(OX)=aw_1+bw_2$
In sostanza si tratta di risolvere $[(lambda),(-lambda),(0),(lambda+1)]=a[(1),(1),(1),(0)]+b[(2),(0),(1),(1)]$
Chiaramente così trovi tutte le soluzioni, e non solo una.
Un altro metodo è quello scrivere le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi, e poi farne l’intersezione.
Sai che se $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente dipendenti se e solo se esistono $a,b,c inK$ non nulli tali che $av_1+bv_2+cv_3=0$ è così trovi la relazione di dipendenza lineare, nel caso in cui siano linearmente indipendenti ti vengono tutti nulli
Allora in realtà dovresti mostrare che l’intersezione sia non vuota ovvero che ‘almeno un punto’ appartiene alla intersezione. Se ci appartiene $(0,0,0,1)$ hai finito, altrimenti non puoi concludere nulla.
Puoi provare a mostrare che dato un generico punto $P$ della retta di coordinate $P(x,y,z,t)$ esiste armento una quaterna di coefficienti tali che $P(x_0,y_0,z_0,t_0)$ appartenga al piano.
In questo caso se $X$ è un generico punto della retta allora avrai $vec(PX)=lambda(1,-1,0,1)$
Ovvero $vec(OX)=vec(OP)+lambda(1,-1,0,1)$ da cui ottiene che le coordinate di $X$ saranno
$X(lambda,-lambda,0,lambda+1)$
Chiaramente essendo $pi:=O+W_(pi)$ allora $X in pi <=> vec(OX)inW_(pi)$ ovvero se e solo se $vec(OX)=aw_1+bw_2$
In sostanza si tratta di risolvere $[(lambda),(-lambda),(0),(lambda+1)]=a[(1),(1),(1),(0)]+b[(2),(0),(1),(1)]$
Chiaramente così trovi tutte le soluzioni, e non solo una.
Un altro metodo è quello scrivere le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi, e poi farne l’intersezione.
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