Area triangolo noti i tre vertici.

[Grabob]

Ciao a tutti, sono bloccato su questo esercizio che può sembrare banale ma sinceramente non capisco bene come rigirarmi;

Il triangolo di vertici (1, 0, 0, 0),(0, 1, 0, 0), e (0, 0, 1, 1) ha area

A: rad(3)
B: rad(2)/2
C: rad( 5)/2
D: N.A.
E: 0

La risposta giusta è la c, ho provato un altro esercizio del genere ma non mi tornava e comunque il metodo era sicuramente sbagliato, ricordo dalle superiori che in R^3 si doveva risolvere il sistema di coordinate per poi trovare i punti e da li fare i calcoli con la distanza e via, in questo caso come si dovrebbe ragionare?
Non posso far la norma di tutto e via, non so che tipo di triangolo sia, devo trovarmi il vettore ortogonale passante dal punto opposto a quello scelto come base?

[anto_zoolander]

"anto_zoolander":$(V,*)$ spazio euclideo di dimensione $n$
$(O,B):=$ riferimento cartesiano
$A(a_1,...,a_n)$ - $B(b_1,...,b_n)$ - $C(c_1,...,c_n)$ punti di quelle coordinate
in realtà nemmeno le useró queste ultime

Poniamo $vec(AB)=vec(v)$ - $vec(BC)=vec(w)$ - $vec(AC)=vec(u)$
Intanto $vec(w)=vec(BC)=vec(AC)-vec(AB)=vec(u)-vec(v)$

Facendoti un breve disegno noti subito che il dato $vec(v)-cvec(u),c=(vec(v)*vec(u))/(||vec(u)||^2)$ è ortogonale ad $u$ e in particolare il vettore che congiunge il vertice $A$ con il piede dell’altezza relativa al lato $AC$.
Da qui si conclude subito che $A r e a = 1/2||vec(u)||*||vec(v)-cvec(u)||$

• $||vec(u)||*||vec(v)-cvec(u)||$

• $||vec(u)||*sqrt( ||vec(v)||^2-(vec(v)*vec(u))^2/(||vec(u)||^2))$

• $sqrt(||vec(v)||^2||vec(u)||^2-(vec(v)*vec(u))^2)$

dunque $A r e a = 1/2sqrt(||vec(v)||^2*||vec(u)||^2-(vec(v)*vec(u))^2)$

La quantità è ben definita per ogni coppia di vettori per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy.

[Grabob]

"anto_zoolander":[quote="anto_zoolander"]$(V,*)$ spazio euclideo di dimensione $n$
$(O,B):=$ riferimento cartesiano
$A(a_1,...,a_n)$ - $B(b_1,...,b_n)$ - $C(c_1,...,c_n)$ punti di quelle coordinate
in realtà nemmeno le useró queste ultime

Poniamo $vec(AB)=vec(v)$ - $vec(BC)=vec(w)$ - $vec(AC)=vec(u)$
Intanto $vec(w)=vec(BC)=vec(AC)-vec(AB)=vec(u)-vec(v)$

Facendoti un breve disegno noti subito che il dato $vec(v)-cvec(u),c=(vec(v)*vec(u))/(||vec(u)||^2)$ è ortogonale ad $u$ e in particolare il vettore che congiunge il vertice $A$ con il piede dell’altezza relativa al lato $AC$.
Da qui si conclude subito che $A r e a = 1/2||vec(u)||*||vec(v)-cvec(u)||$

• $||vec(u)||*||vec(v)-cvec(u)||$

• $||vec(u)||*sqrt( ||vec(v)||^2-(vec(v)*vec(u))^2/(||vec(u)||^2))$

• $sqrt(||vec(v)||^2||vec(u)||^2-(vec(v)*vec(u))^2)$

dunque $A r e a = 1/2sqrt(||vec(v)||^2*||vec(u)||^2-(vec(v)*vec(u))^2)$

La quantità è ben definita per ogni coppia di vettori per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy.

[/quote]

Ti ringrazio, sei stato molto chiaro e gentile.