Proiezione su spazio affine
Devo calcolare proiezione di $(1, 3, 2)$ sul piano affine $(1, 1, 0) + ⟨(2, 1, 1), (1, 1, 2)⟩$ quindi procederei in questo questo modo:
$[\ (1, 3, 2) -( (1, 1, 0) + alpha(2, 1, 1)+beta(1, 1, 2))\ ](2, 1, 1)=0$
$[\ (1, 3, 2) -( (1, 1, 0) + alpha(2, 1, 1)+beta(1, 1, 2))\ ](1, 1, 2)=0$
però a me torna sia $\alpha$ che $\beta$ uguale $4/11$
la soluzione è la proiezione $1/11 (15,21,26)$
ma il risultato me non mi torna così e l'ho provato numerose volte. Dove sbaglio?
$[\ (1, 3, 2) -( (1, 1, 0) + alpha(2, 1, 1)+beta(1, 1, 2))\ ](2, 1, 1)=0$
$[\ (1, 3, 2) -( (1, 1, 0) + alpha(2, 1, 1)+beta(1, 1, 2))\ ](1, 1, 2)=0$
però a me torna sia $\alpha$ che $\beta$ uguale $4/11$
la soluzione è la proiezione $1/11 (15,21,26)$
ma il risultato me non mi torna così e l'ho provato numerose volte. Dove sbaglio?
Risposte
Ti propongo la mia strategia risolutiva:
Trova l'equazione cartesiana del piano (ti basta eseguire il prodotto vettoriale tra i parametri direttori per trovarne la normale, e poi tra il fascio improprio imponi il passaggio per \((1,1,0)\). Se fai bene i conti il risultato che tiri fuori è precisamente
\(x-3y+z+2=0\)
Adesso trovi la retta che sia ortogonale al piano (parallela alla normale quindi) e passante per il punto da proiettare. Troverai la retta che ha la sequente equazione parametrica:
\(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 - 3t \\ z = 2 +t \end{cases}\)
Adesso trovi il punto di intersezione tra la retta e il piano. Il punto così trovato sarà la proiezione ortogonale del punto sul piano. Per far ciò ti basa per esempio sostituire nell'equazione cartesiana del piano le generiche coordinate di un punto che giace sulla retta, così che troverai un valore di t. Se fai bene i conti trovi appunto \(t = \frac{4}{11}\).
Sostituisci il valore ottenuto nell'equazione della retta e otterrai le coordinate della proiezione ortogonale.
Otterrai precisamente il risultato che hai riportato!
Trova l'equazione cartesiana del piano (ti basta eseguire il prodotto vettoriale tra i parametri direttori per trovarne la normale, e poi tra il fascio improprio imponi il passaggio per \((1,1,0)\). Se fai bene i conti il risultato che tiri fuori è precisamente
\(x-3y+z+2=0\)
Adesso trovi la retta che sia ortogonale al piano (parallela alla normale quindi) e passante per il punto da proiettare. Troverai la retta che ha la sequente equazione parametrica:
\(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 - 3t \\ z = 2 +t \end{cases}\)
Adesso trovi il punto di intersezione tra la retta e il piano. Il punto così trovato sarà la proiezione ortogonale del punto sul piano. Per far ciò ti basa per esempio sostituire nell'equazione cartesiana del piano le generiche coordinate di un punto che giace sulla retta, così che troverai un valore di t. Se fai bene i conti trovi appunto \(t = \frac{4}{11}\).
Sostituisci il valore ottenuto nell'equazione della retta e otterrai le coordinate della proiezione ortogonale.
Otterrai precisamente il risultato che hai riportato!
"iTz_Ovah":
Ti propongo la mia strategia risolutiva:
Trova l'equazione cartesiana del piano (ti basta eseguire il prodotto vettoriale tra i parametri direttori per trovarne la normale, e poi tra il fascio improprio imponi il passaggio per \((1,1,0)\).
Ottimo consiglio ma se non ricordo male applicabile solo al caso $RR^3$, corretto?
Il prodotto vettoriale si definisce solo nello spazio dei vettori liberi e nei suoi spazi duali. La strategia proposta senza alcuna modifica si applica solo a \(\mathbb {R}^3\)
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