Piano contenente r ed ortogonale a s

[ShaxV]

Buongiorno, vorrei sapere come svolgere questa tipologia di esercizi su cui non so proprio come mettere le mani.

Siano date le rette r: $ { ( x+3z-1=0),( y+2z+2=0 ):} $ e s : $ { ( x=2+t ),( y=1-3t ),( z=3-3t ):} $
determinare il piano che contiene r ed è ortogonale a s

Ho considerato il fascio di piano generato da r
$ lambda (x+3z-1)+mu (y+2z+2)=0 $ ed ho pensato di imporre l'ortogonalità con s
cioè la giacitura del piano dovesse essere proporzionale a s quindi
$ (lambda , mu ,3lambda +2mu )=h(1,-3,-3) $
da cui il sistema $ { ( lambda=h ),( mu = -3h ),( 2lambda +2mu =-3h ):} $ che però ammette la sola soluzione nulla

Come devo fare quindi ?

[Jokah]

Ti do il seguente suggerimento: la retta r dev'essere in direzione ortogonale al piano, mentre la retta s dev'essere parallela alla normale di questo.
Riassunto:
La normale dev'essere:

Parallela alla direzione di s
Ortogonale alla direzione di r

Questo può avvenire se e solo se la retta r è ortogonale a s. In tal caso puoi prendere per normale la direzione di s, e imporre il passaggio del piano per un punto di r (lo determini assegnando un valore a caso ad una delle incognite e risolvendo il sistema per le rimanenti 2. La scelta più comoda che puoi fare è assegnare valore 0 ad una incognita che compare in entrambe le equazioni, ad esempio z).

Questa condizione è verificata in quanto \((1,0,3)\times(0,1,2)\cdot(1,-3,-3)=0\) . Lascio a te i conti!

[ShaxV]

Ho risolto, grazie.
Come procedimento è utilizzabile solo se r è ortogonale a s oppure in ogni caso ?

[Jokah]

Esiste un piano ortogonale ad s e contenente r, se s e r non sono ortogonali? (Prendi un foglio, che rappresenta il piano, e due penne che rappresentano le direzioni delle rette e prova per rendertene conto)