Dimensione sottospazio vettoriale
Ho un dubbio che mi attanaglia e solo voi potete risolverlo.
Il dubbio principale è come individuare la dimensione di un sottospazio vettoriale.
Vi propongo un esempio nello specifico se io avessi una matrice $2x2$ ad esempio $((-s,0),(s,-s+1))$
Quale sarebbe la dimensione??? io credo che si dovesse calcolare il rango e in base al rango cosi è la dimesione. Ovvero rango 2 allora la dimensione è 2???
Giusto o mi confondo????
Il dubbio principale è come individuare la dimensione di un sottospazio vettoriale.
Vi propongo un esempio nello specifico se io avessi una matrice $2x2$ ad esempio $((-s,0),(s,-s+1))$
Quale sarebbe la dimensione??? io credo che si dovesse calcolare il rango e in base al rango cosi è la dimesione. Ovvero rango 2 allora la dimensione è 2???
Giusto o mi confondo????
Risposte
Sì, dici proprio bene: devi calcolare il rango, ma sbagli nel calcolarlo nella matrice così come ti viene data! Devi calcolarlo nella matrice in forma ridotta. Se sommi la prima e la seconda riga ottieni una nuova matrice siffatta:
\(\left (\begin{array} -s & 0 \\ 0 & -s+1 \end{array}\right)\)
Questa ha rango 2 se \(s\neq0\) e \(s\neq1\). In caso contrario il rango è 1. Il rango coincide con la dimensione dello spazio.
\(\left (\begin{array} -s & 0 \\ 0 & -s+1 \end{array}\right)\)
Questa ha rango 2 se \(s\neq0\) e \(s\neq1\). In caso contrario il rango è 1. Il rango coincide con la dimensione dello spazio.
"iTz_Ovah":
Sì, dici proprio bene: devi calcolare il rango, ma sbagli nel calcolarlo nella matrice così come ti viene data! Devi calcolarlo nella matrice in forma ridotta. Se sommi la prima e la seconda riga ottieni una nuova matrice siffatta:
\(\left (\begin{array} -s & 0 \\ 0 & -s+1 \end{array}\right)\)
Questa ha rango 2 se \(s\neq0\) e \(s\neq1\). In caso contrario il rango è 1. Il rango coincide con la dimensione dello spazio.
Quindi se $s!=0$ e $s!=1$ a dimensione sarà 0??? Cioè se il rango della matrice di un sottopazio è massimo la dimensione del sottospazio è 0???
Se \(s\not\in \{0,2\}\) allora la matrice ridotta ha 2 pivot, cioè il rango è esattamente 2, che coincide con la dimensione dello spazio. Se \(s\in \{0,2\}\) invece, nell'ordine la prima è priva di pivot e la seconda ne è dotata, e il viceversa. La dimensione dello spazio è allora in entrambi i casi 1. Giacché non esistono valori di s tali per cui contemporaneamente la prima e la seconda riga sono entrambe nulle, non ci sono valori di s per cui lo spazio abbia dimensione 0
"iTz_Ovah":
Se \(s\not\in \{0,2\}\) allora la matrice ridotta ha 2 pivot, cioè il rango è esattamente 2, che coincide con la dimensione dello spazio. Se \(s\in \{0,2\}\) invece, nell'ordine la prima è priva di pivot e la seconda ne è dotata, e il viceversa. La dimensione dello spazio è allora in entrambi i casi 1. Giacché non esistono valori di s tali per cui contemporaneamente la prima e la seconda riga sono entrambe nulle, non ci sono valori di s per cui lo spazio abbia dimensione 0
Dato che quello che hai scritto mi sembra che vada in contrasto da quello che ha scritto il professore sul suo sito, scrivo l'esercizio(temo che con l'esercizio scritto possa cambiare la risoluzione).
Si consideri lo spazio vettoriale $RR^22$ delle matrici di ordine 2 e sia $A =((1,0),(s,2))$, dove s appartiene ad$RR$.
1) Provare che $W={X in RR^22:XA=(s+1)X} $ è un sottospazio vettoriale.
2) Determinare la dimensione di $W$ al variare di $s$
Il prof è arrivato a determinare che $X(A-(s+1)I)=0$ quindi W è un sottospazio perchè definito da un sistema omogeneo.
La risoluzione del secondo quesito nonostante sia svolta non la riesco a capire.
Ad ogni modo per il prof la dimensione di $W$ dipende dal rango di (A-(s+1)I) se il rango è uguale a 2 allora W={0}.
Non ho capito il perchè
In realtà le cose, stando così cambiano: non so che stregoneria abbia percorso il tuo professore perciò ti propongo la mia idea.
Se \(W = \{X\in\mathbb{R}^{2\times2} | XA = (s+1)X \}\) con \(A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ s & 2 \end{array}\right)\) e \(X = \left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\)
Puoi scrivere il sottospazio come
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | \left(\begin{array}{cc} -sx_{11} + sx_{12} & (1-s)x_{12} \\ -sx_{21} + sx_{22} & (1-s)x_{22} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\}\)
Ottenuta semplicemente svolgendo i calcoli. Se poni a sistema omogeneo per le incognite (ordinatamente) \((x_{11},x_{12},x_{21},x_{22})\) ottieni il seguente sistema lineare omogeneo.
\(\left(\begin{array}{cccc} -s & s & 0 & 0 \\ 0 & (1-s) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -s & s \\ 0 & 0 & 0 & (1-s)\end{array}\right)\)
Comunque si sceglie \(s\neq1\), si nota che sia b che d devono essere nulli.
\(x_{12} = x_{22} = 0\).
Puoi allora prendere in considerazione il medesimo sistema da cui vengono eliminate le incognite b e d, nonché le equazioni che ne impongono la nullità per individuare le condizioni per la nullità di \(x_{11}\) e \(x_{12}\).
Ottieni \(\left(\begin{array}{cc} -s & 0 \\ 0 & -s \end{array}\right)\). Questa matrice ammette una soluzione unica, che è quella nulla, quando il rango di questa matrice è massimo, ossia quando \(s\neq0\). In tal caso si ha anche che \(x_{11} = x_{12} = 0\).
Riscrivi allora
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{11} = x_{12} = x_{21} = x_{22} = 0\}\) nei casi in cui \(s\not\in \{0,1\}\), ed ha dimensione 0.
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{12} = x_{22} = 0\}\) nei casi in cui \(s= 0\), ed ha dimensione 2.
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{11} = x_{12}, x_{21} = x_{22}\}\) nei casi in cui \(s= 1\), ed ha dimensione 2.
NOTA: I conti sono lunghi e potrei aver sbagliato, ti consiglio di ricontrollarli!
Se \(W = \{X\in\mathbb{R}^{2\times2} | XA = (s+1)X \}\) con \(A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ s & 2 \end{array}\right)\) e \(X = \left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\)
Puoi scrivere il sottospazio come
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | \left(\begin{array}{cc} -sx_{11} + sx_{12} & (1-s)x_{12} \\ -sx_{21} + sx_{22} & (1-s)x_{22} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\}\)
Ottenuta semplicemente svolgendo i calcoli. Se poni a sistema omogeneo per le incognite (ordinatamente) \((x_{11},x_{12},x_{21},x_{22})\) ottieni il seguente sistema lineare omogeneo.
\(\left(\begin{array}{cccc} -s & s & 0 & 0 \\ 0 & (1-s) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -s & s \\ 0 & 0 & 0 & (1-s)\end{array}\right)\)
Comunque si sceglie \(s\neq1\), si nota che sia b che d devono essere nulli.
\(x_{12} = x_{22} = 0\).
Puoi allora prendere in considerazione il medesimo sistema da cui vengono eliminate le incognite b e d, nonché le equazioni che ne impongono la nullità per individuare le condizioni per la nullità di \(x_{11}\) e \(x_{12}\).
Ottieni \(\left(\begin{array}{cc} -s & 0 \\ 0 & -s \end{array}\right)\). Questa matrice ammette una soluzione unica, che è quella nulla, quando il rango di questa matrice è massimo, ossia quando \(s\neq0\). In tal caso si ha anche che \(x_{11} = x_{12} = 0\).
Riscrivi allora
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{11} = x_{12} = x_{21} = x_{22} = 0\}\) nei casi in cui \(s\not\in \{0,1\}\), ed ha dimensione 0.
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{12} = x_{22} = 0\}\) nei casi in cui \(s= 0\), ed ha dimensione 2.
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{11} = x_{12}, x_{21} = x_{22}\}\) nei casi in cui \(s= 1\), ed ha dimensione 2.
NOTA: I conti sono lunghi e potrei aver sbagliato, ti consiglio di ricontrollarli!
"iTz_Ovah":
In realtà le cose, stando così cambiano: non so che stregoneria abbia percorso il tuo professore perciò ti propongo la mia idea.
Se \(W = \{X\in\mathbb{R}^{2\times2} | XA = (s+1)X \}\) con \(A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ s & 2 \end{array}\right)\) e \(X = \left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\)
Puoi scrivere il sottospazio come
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | \left(\begin{array}{cc} -sx_{11} + sx_{12} & (1-s)x_{12} \\ -sx_{21} + sx_{22} & (1-s)x_{22} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\}\)
Ottenuta semplicemente svolgendo i calcoli. Se poni a sistema omogeneo per le incognite (ordinatamente) \((x_{11},x_{12},x_{21},x_{22})\) ottieni il seguente sistema lineare omogeneo.
\(\left(\begin{array}{cccc} -s & s & 0 & 0 \\ 0 & (1-s) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -s & s \\ 0 & 0 & 0 & (1-s)\end{array}\right)\)
Comunque si sceglie \(s\neq1\), si nota che sia b che d devono essere nulli.
\(x_{12} = x_{22} = 0\).
Puoi allora prendere in considerazione il medesimo sistema da cui vengono eliminate le incognite b e d, nonché le equazioni che ne impongono la nullità per individuare le condizioni per la nullità di \(x_{11}\) e \(x_{12}\).
Ottieni \(\left(\begin{array}{cc} -s & 0 \\ 0 & -s \end{array}\right)\). Questa matrice ammette una soluzione unica, che è quella nulla, quando il rango di questa matrice è massimo, ossia quando \(s\neq0\). In tal caso si ha anche che \(x_{11} = x_{12} = 0\).
Riscrivi allora
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{11} = x_{12} = x_{21} = x_{22} = 0\}\) nei casi in cui \(s\not\in \{0,1\}\), ed ha dimensione 0.
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{12} = x_{22} = 0\}\) nei casi in cui \(s= 0\), ed ha dimensione 2.
\(W = \{\left(\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times2} | x_{11} = x_{12}, x_{21} = x_{22}\}\) nei casi in cui \(s= 1\), ed ha dimensione 2.
NOTA: I conti sono lunghi e potrei aver sbagliato, ti consiglio di ricontrollarli!
Ti trovi perfettamente ma a questo punto rinascono i dubbi iniziali: ovvero perchè se la matrice ha rango massimo il sottospazio ha dimensione 0??? cioè per $s!=0$ La matrice non verrebbe posto ad esempio $s=3$ $((-3,0),(0,-3))$ questa matrice ha rango 2... la dimensione non è 2??
Cioè non è la stessa cosa dello spazio vettoriale che calcolo il rango e quella è la dimensione??
Ah... unica differenza è la matrice che a te risulta $((-s,o),(0,-s))$ al prof risulta $((-s,0),(s,-s+1))$
Sarò onesto: ho solo una idea che mi brulica nelle sinapsi: dato che \(X(A−(s+1)I)=0\), poiché si suppone \(A−(s+1)I\) avente rango massimo, questa deve avere determinante non nullo. Per il teorema di Binet si deve avere anche che \(det(X(A−(s+1)I) = det(X)det(A−(s+1)I) = 0 \) perché il loro prodotto è la matrice nulla e ha determinante 0. Dato che nel caso \(A−(s+1)I\) avrebbe determinante non nullo, l'unico altro indiziato ad averlo nullo è appunto X, che a questo punto non ha dimensione 4, infatti una riga deve necessariamente essere parallela all'altra. Allora al massimo ha dimensione 2, in quanto ogni elemento della seconda riga si può scrivere come un multiplo di un elemento della prima. Rimane da capire perché anche la rimanente riga dev'essere nulla...
Per quanto mi fai notare tu sulla matrice, quella che ho scritto non è associata ad \(A−(s+1)I\) ma ad una porzione del sistema omogeneo di prima, per cui non penso sia un problema la diversità riscontrata.
Per quanto mi fai notare tu sulla matrice, quella che ho scritto non è associata ad \(A−(s+1)I\) ma ad una porzione del sistema omogeneo di prima, per cui non penso sia un problema la diversità riscontrata.
"iTz_Ovah":
Sarò onesto: ho solo una idea che mi brulica nelle sinapsi: dato che \(X(A−(s+1)I)=0\), poiché si suppone \(A−(s+1)I\) avente rango massimo, questa deve avere determinante non nullo. Per il teorema di Binet si deve avere anche che \(det(X(A−(s+1)I) = det(X)det(A−(s+1)I) = 0 \) perché il loro prodotto è la matrice nulla e ha determinante 0. Dato che nel caso \(A−(s+1)I\) avrebbe determinante non nullo, l'unico altro indiziato ad averlo nullo è appunto X, che a questo punto non ha dimensione 4, infatti una riga deve necessariamente essere parallela all'altra. Allora al massimo ha dimensione 2, in quanto ogni elemento della seconda riga si può scrivere come un multiplo di un elemento della prima. Rimane da capire perché anche la rimanente riga dev'essere nulla...
Per quanto mi fai notare tu sulla matrice, quella che ho scritto non è associata ad \(A−(s+1)I\) ma ad una porzione del sistema omogeneo di prima, per cui non penso sia un problema la diversità riscontrata.
Innanzitutto ti voglio dire che sei un grande che rispondi subito...però,forse perchè non l'hai notata, ma non hai risposto alla mia domanda che mi stà logorando... Perchè un sottospazio che rango massimo ha dimensione 0???
La domanda nel caso specifico mi sta distruggendo anche a me, in tutta franchezza. Nel caso generale occorre specificare che matrice associ ad un sottospazio, perché se associ la matrice che ha per righe o colonne un suo sistema di generatori, questo non è vero. Sarebbe infatti che la dimensione del sottospazio è proprio pari alle righe non tutte nulle della matrice ridotta, i.e. il suo rango (che coincide con il numero di vettori linearmente indipendenti nel sistema di generatori, cioè una sua base. Ricorda che la dimensione di uno spazio si ottiene contando il numero di elementi in una sua base qualsiasi!)
"iTz_Ovah":
La domanda nel caso specifico mi sta distruggendo anche a me, in tutta franchezza. Nel caso generale occorre specificare che matrice associ ad un sottospazio, perché se associ la matrice che ha per righe o colonne un suo sistema di generatori, questo non è vero. Sarebbe infatti che la dimensione del sottospazio è proprio pari alle righe non tutte nulle della matrice ridotta, i.e. il suo rango!
Forse ci sono...
se svolgi questo sistema omogeneo $((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ $((-2,0),(2,-1))$= $((0,0),(0,0))$ si ottiene la matrice nulla che ha rango zero che corrisponde alla dimensione.
TI trovi con me ???viceversa se si sostituisce alla $s$ un valore come 0 o 1 si ottiene $x_1,x_2$ libere e quindi due dimensioni
spero sia questa la risposta
A me piace più questa dimostrazione:
Dato che \(X(A−(s+1)I)=0\) e \(A−(s+1)I\) è invertibile ( ha determinante non nullo) possiamo moltiplicare ambo i membri a destra per la sua inversa:
\(X(A−(s+1)I)(A−(s+1)I)^{-1}=0(A−(s+1)I)^{-1} \to X = 0\) dato che una matrice moltiplicata per la sua inversa eguaglia l'identità.
Ci stai?
Dato che \(X(A−(s+1)I)=0\) e \(A−(s+1)I\) è invertibile ( ha determinante non nullo) possiamo moltiplicare ambo i membri a destra per la sua inversa:
\(X(A−(s+1)I)(A−(s+1)I)^{-1}=0(A−(s+1)I)^{-1} \to X = 0\) dato che una matrice moltiplicata per la sua inversa eguaglia l'identità.
Ci stai?
direi cosi da un punto di vista teorico la tua... ma da un punto pratico per la risoluzione degli esercizi la mia
Ottimo allora 
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