Dimensione sottospazio vettoriale
Ma per determinare la dimensione di un sottospazio bisogna risolvere il sistema omogeneo associato al sottospazio?
Risposte
Dipende che matrice associ al sottospazio, come ti dicevo. Propongo due alternative:
• Ti viene dato il sottospazio in forma di "condizioni" che il vettore che vi appartiene deve soddisfare: basta contare il numero di condizioni non equivalenti che lo definiscono.Detto $m$ tale numero e $n$ la dimensione dello spazio di cui quello dato è un sottospazio, allora la dimensione è $n-m$
Esempio:
- ${x\in\mathbb{R}^3 | x+2y = 0; y - z = 0\}$
Dato che ci sono 2 condizioni non equivalenti la dimensione dello spazio è $1 = 3 - 2$
- ${x\in\mathbb{R}^3 | x+2y = 0; y - z = 0; x +3y-z=0\}$
Come prima: la terza condizione è la somma delle prime due e dunque non serve.
• Ti viene dato un sistema di generatori: la dimensione dello spazio è data dal numero di vettori che formano una base,e cioè il numero di vettori linearmente indipendenti nel sistema di generatori. Se disponi i vettori in riga o colonna di una matrice, questo numero coincide per definizione con il rango della matrice ridotta.
Esempio: (da un testo di esame del mio professore):
Sia
$U \subseteq \mathbb{C}^4 = L \{(1+i, −1+2i, 3i, 1), (1+i, −3+3i, −2+2i, 2−3i), (−2−2i, −2−2i, −2−4i, −6−2i), (1+i, 1+i, −1−2i, 9−3i)\}$
La dimensione di questo spazio la ottieni riducendo il sistema con il metodo di Gauss e contando il rango. Se svolgi bene i conti scopri che questo ha rango 3, per cui il sottospazio ha dimensione $3$
• Ti viene dato il sottospazio in forma di "condizioni" che il vettore che vi appartiene deve soddisfare: basta contare il numero di condizioni non equivalenti che lo definiscono.Detto $m$ tale numero e $n$ la dimensione dello spazio di cui quello dato è un sottospazio, allora la dimensione è $n-m$
Esempio:
- ${x\in\mathbb{R}^3 | x+2y = 0; y - z = 0\}$
Dato che ci sono 2 condizioni non equivalenti la dimensione dello spazio è $1 = 3 - 2$
- ${x\in\mathbb{R}^3 | x+2y = 0; y - z = 0; x +3y-z=0\}$
Come prima: la terza condizione è la somma delle prime due e dunque non serve.
• Ti viene dato un sistema di generatori: la dimensione dello spazio è data dal numero di vettori che formano una base,e cioè il numero di vettori linearmente indipendenti nel sistema di generatori. Se disponi i vettori in riga o colonna di una matrice, questo numero coincide per definizione con il rango della matrice ridotta.
Esempio: (da un testo di esame del mio professore):
Sia
$U \subseteq \mathbb{C}^4 = L \{(1+i, −1+2i, 3i, 1), (1+i, −3+3i, −2+2i, 2−3i), (−2−2i, −2−2i, −2−4i, −6−2i), (1+i, 1+i, −1−2i, 9−3i)\}$
La dimensione di questo spazio la ottieni riducendo il sistema con il metodo di Gauss e contando il rango. Se svolgi bene i conti scopri che questo ha rango 3, per cui il sottospazio ha dimensione $3$
"iTz_Ovah":
Dipende che matrice associ al sottospazio, come ti dicevo. Propongo due alternative:
• Ti viene dato il sottospazio in forma di "condizioni" che il vettore che vi appartiene deve soddisfare: basta contare il numero di condizioni non equivalenti che lo definiscono.Detto $m$ tale numero e $n$ la dimensione dello spazio di cui quello dato è un sottospazio, allora la dimensione è $n-m$
Esempio:
- ${x\in\mathbb{R}^3 | x+2y = 0; y - z = 0\}$
Dato che ci sono 2 condizioni non equivalenti la dimensione dello spazio è $1 = 3 - 2$
- ${x\in\mathbb{R}^3 | x+2y = 0; y - z = 0; x +3y-z=0\}$
Come prima: la terza condizione è la somma delle prime due e dunque non serve.
• Ti viene dato un sistema di generatori: la dimensione dello spazio è data dal numero di vettori che formano una base,e cioè il numero di vettori linearmente indipendenti nel sistema di generatori. Se disponi i vettori in riga o colonna di una matrice, questo numero coincide per definizione con il rango della matrice ridotta.
Esempio: (da un testo di esame del mio professore):
Sia
$U \subseteq \mathbb{C}^4 = L \{(1+i, −1+2i, 3i, 1), (1+i, −3+3i, −2+2i, 2−3i), (−2−2i, −2−2i, −2−4i, −6−2i), (1+i, 1+i, −1−2i, 9−3i)\}$
La dimensione di questo spazio la ottieni riducendo il sistema con il metodo di Gauss e contando il rango. Se svolgi bene i conti scopri che questo ha rango 3, per cui il sottospazio ha dimensione $3$
Allora due chiarimenti per quanto riguarda il primo esempio le condizioni non sono equivalenti perchè non c'è la "z"???
per il secondo esempio dunque per il calcolo della dimensione che sia uno spazio o un sottospazio si procede allo stesso modo??
Due condizioni sono equivalenti se impongono la stessa cosa. Poiché in una la z compare, mentre nell'altra no, è chiaro che le condizioni sono diverse. Per la seconda domanda, ti ricordo che puoi ottenere uno spazio affine traslando opportunamente un sottospazio vettoriale, e una traslazione non altera la dimensione dello spazio!
ti posso proporre un esercizio sui sottospazi vettoriali??
Fai pure
"iTz_Ovah":
Fai pure
In RR^3 si consideri il sottospazio vettoriale : $W={(x,y,z)in RR^3 : -x+y+z=hx+y-hz=x-h^2y+hz=0}$.
Al variare di h determinare la dimensione e una base del sottospazio.
AIUTO
Con un po' di fantasia questo diventa semplice: se consideri i coefficienti delle incognite di ciascuna condizione come vettori, questo spazio ha dimensione nulla quando i vettori sono linearmente indipendenti,cioè non complanari;ergo il volume del prisma che li ha come spigoli è non nullo (altrimenti il prisma sarebbe schiacciato su un piano, degenerando in un parallelogramma e i vettori vi apparterrebbero).
Il volume del prisma è $h^2+2h+1 = (h+1)^2$. Questo è nullo se e solo se $h=-1$. In tal caso le condizioni sono non tutte diverse. Se $h = -1$ le condizioni ti diventano:
\(\begin{cases}-x+y+z=0 \\ -x+y+z=0 \\ x-y-z=0\end{cases}\)
Dove la seconda coincide perfettamente con la prima, e la terza è uguale alla prima, infatti la ottieni cambiando segno.
Allora:
\(dim(U) = \begin{cases} 0 = 3-3, & \mbox{se } h\neq-1 \\ 2 = 3-1, & \mbox{se } h=-1 \end{cases}\)
Il volume del prisma è $h^2+2h+1 = (h+1)^2$. Questo è nullo se e solo se $h=-1$. In tal caso le condizioni sono non tutte diverse. Se $h = -1$ le condizioni ti diventano:
\(\begin{cases}-x+y+z=0 \\ -x+y+z=0 \\ x-y-z=0\end{cases}\)
Dove la seconda coincide perfettamente con la prima, e la terza è uguale alla prima, infatti la ottieni cambiando segno.
Allora:
\(dim(U) = \begin{cases} 0 = 3-3, & \mbox{se } h\neq-1 \\ 2 = 3-1, & \mbox{se } h=-1 \end{cases}\)
"iTz_Ovah":
Con un po' di fantasia questo diventa semplice: se consideri i coefficienti delle incognite di ciascuna condizione come vettori, questo spazio ha dimensione nulla quando i vettori sono linearmente indipendenti,cioè non complanari;ergo il volume del prisma che li ha come spigoli è non nullo (altrimenti il prima sarebbe schiacciato su un piano, degenerando in un parallelogramma e i vettori vi apparterrebbero).
Il volume del prisma è $h^2+2h+1 = (h+1)^2$. Questo è nullo se e solo se $h=-1$. In tal caso le condizioni sono non tutte diverse. Se $h = -1$ le condizioni ti diventano:
\(\begin{cases}-x+y+z=0 \\ -x+y+z=0 \\ x-y-z=0\end{cases}\)
Dove la seconda coincide perfettamente con la prima, e la terza è uguale alla prima, infatti la ottieni cambiando segno.
Allora:
\(dim(U) = \begin{cases} 0 = 3-3, & \mbox{se } h\neq-1 \\ 2 = 3-1, & \mbox{se } h=-1 \end{cases}\)
Non metto in dubbio quello che hai scritto...ma conoscendo il mio prof non credo che metta un esercizio con una soluzione tanto astrusa.
Non c'è una soluzione alternativa magari anche più semplice da capire???
Ricorda che il volume del prisma è a meno del segno coincidente con il prodotto misto! Altrimenti nota che giacché le condizioni originano un sistema lineare omogeneo con tante equazioni quante le incognite, questo ha la sola soluzione nulla quando il suo determinante è non nullo (condizione equivalente a quella del prisma volendo).
non è possibile svolgere questo esercizio in forma matriciale o con la risoluzione di un sistema omogeneo???
Puoi pensare quel sottospazio come nucleo dell'applicazione lineare avente, nella sua matrice associata, per righe le condizioni date, con tutto quello che ne consegue.
cioè metto per righe le tre equazioni?
I coefficienti delle equazioni.
quindi una matrice 3x3?
Sì.
$((-1,1,1),(h,1,-h),(1,-h^2,h))$
questa???
questa???
Proprio!
a questo punto che faccio?
Trovi il kernel\nucleo\nullspace
come determino il nucleoo se già ho un parametro???
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