Applicazione lineare in R e C.

[BRN1]

Ciao ragazzi e Buon Anno.
Mi serve un aiuto per questo esercizio che trovo un po' ostico...

Si consideri $f:RR^4 rarr RR^4$ applicazione lineare che manda il vettore $ ( x_1 \ \ x_2 \ \ x_3 \ \ x_4 ) ^t $ nel vettore $ ( x_2 \ \ x_3 \ \ x_4 \ \ x_1 ) ^t $

a) Trovare il minimo intero $n$ positivo tale che $f^n$ sia l'identità.
b) Determinare autovalori e autovettori di $f^(-1)$.
c) Sia $F:CC^4 rarr CC^4$ l'applicazione lineare che manda il vettore $ ( z_1 \ \ z_2 \ \ z_3 \ \ z_4 ) ^t $ nel vettore $ ( z_2 \ \ z_3 \ \ z_4 \ \ z_1 ) ^t $. Dire se $F$ è diagonalizzabile.

Dunque:
a) data l'applicazione lineare, un generico vettore $u$ sarà:

$ u=(x_2, x_3, x_4, x_1)=x_1( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) + x_2( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+x_3( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+x_4( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $

Allora la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare è:

$ A_f=( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ) ) $

Ora, devo trovare il più piccolo $n$ intero e positivo tale che $f^n=I$, cioè

$( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ) )^n=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $

e qui non so più come procedere...

b) La matrice inversa è:

$ A_f^(-1)=( ( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $

quindi

$det(A_f^(-1) -lambdaI)= det( ( -lambda , 0 , 0 , 1 ),( 1 , -lambda , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -lambda , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -lambda ) )=(lambda-1)(lambda+1)(lambda^2+1)=0 $

ottengo i seguenti autovalori: $lambda_1=1, lambda_2=-1, lambda_3=i, lambda_4=-i$ tutti con molteplicità algebrica pari a 1.
Ma è corretto ottenere autovalori immaginari?

c) Dovrei verificare per quali autovalori ho la molteplicità algebrica pari alla molteplicità geometrica. Lo so fare se fossi in $RR$, ma in $CC$ come si procede?

Mi aiutate? Grazie!

[killing_buddha]

a) $f$ è l'estensione per linearità della permutazione $\gamma = (1234)$; trova l'ordine di $\gamma$ nel gruppo simmetrico $Sym(4)$ e troverai $n$.
b) una matrice di permutazione è ortogonale (ha determinante uguale a \(\pm 1\) e precisamente al segno della permutazione associata; questo ti dice che i suoi autovalori sono numeri complessi di modulo 1.