Geometria proiettiva: birapporto di punti non allineati
Premessa: mi scuso in anticipo per la prolissità del discorso ma ho cercato di essere il più chiara possibile e soprattutto volevo riportare tutti i miei sforzi e i miei ragionamenti anche per presentare il modo in cui io (o più che altro il mio prof) studio un problema. Detto questo, ecco l'esercizio:
Nel piano proiettivo $P^2(RR)$ sono dati i seguenti punti:
$P_1=[1,0,0] P_2=[0,1,0] P_3=[0,0,1] P_4=[0,1,1]$
$Q_1=[0,1,0] Q_2=[1,0,0] Q_3=[0,0,1] Q_4=[1,0,1]$
Determinare, se esiste, una proiettività $F:P^2(RR) rarr P^2(RR)$ tale che $F(P_i)=Q_i AAi=1,2,3,4$.
Ecco il mio ragionamento:
Poiché $P_2,P_3,P_4$ sono allineati, così come $Q_2,Q_3,Q_4$, non è possibile utilizzare il teorema di esistenza di una proiettività che asserisce appunto (applicandolo al caso in questione) che esiste una proiettività del tipo cercato $iff$ i punti sono a tre a tre non allineati.
Quindi sfrutto un altro teorema, che asserisce che una proiettività del tipo cercato esiste $iff$ i birapporti degli otto numeri sono uguali secondo la relazione $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)=beta(F(P_1),F(P_2),F(P_3),F(P_4))$, ossia $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)=beta(Q_1,Q_2,Q_3,Q_4)$.
A questo punto nasce il mio problema, che ho provato a risolvere in tre modi diversi:
MODO 1: Seguendo gli esempi svolti dal prof (che però riguardano sempre e solo 4 punti allineati) mi basta trovare le coordinate per ogni punto nella forma $P_i=[\lambda,\mu]$. Sia $t: x_0=0$ la retta passante per $P_2,P_3,P_4$. Posto $t=PP(U)$, con $dim(U)=2$ e $U=L((0,1,0),(0,0,1))=L(e_2,e_3)$, le coordinate saranno $P_2=[1,0],P_3=[0,1],P_4=[1,1]$ mentre $P_1=[0,0]$ ottenendo così un orribile $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)= 0/0$!
MODO 2: Sempre seguendo la logica del modo 1, decido di scegliere un sottospazio che contenga tutti e 4 i punti, ossia un piano che sarà quindi dato da $\pi=L(P_1,P_2,P_3,P_4)$ o, considerando la retta $t$ di cui sopra, $\pi=L(P_1,t)$. Ma a questo punti non so procedere... [Vedi post successivo]
MODO 3: Considero sempre le coordinate ricavate nel MODO 1, ossia $P_2=[1,0],P_3=[0,1],P_4=[1,1]$, lasciando però generico $P_1=[x_0,x_1]$ e ottenendo così $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)= (x_0-x_1)/x_0$. Analogamente per i $Q_i$, considerando che rispetto alla retta $s: x_1=0$ passante per $Q_2,Q_3,Q_4$ le coordinate sono $Q_2=[1,0],Q_3=[0,1],Q_4=[1,1]$ e lasciando generico $Q_1=[y_0,y_1]$, si ottiene il birapporto $beta(Q_1,Q_2,Q_3,Q_4)=(y_0-y_1)/y_0$. Quindi deve valere che $(x_0-x_1)/x_0=(y_0-y_1)/y_0$. E anche questo svolgimento non mi porta da nessuna parte.
Mi scuso ancora per la lunghezza eccessiva del mio argomento ma purtroppo sia su questo forum che in internet in generale non sono riuscita a trovare nulla... Spero comunque di essere stata chiara e spero che qualcuno abbia voglia e pazienza di aiutarmi. Ringrazio anticipatamente chiunque risponderà!
Nel piano proiettivo $P^2(RR)$ sono dati i seguenti punti:
$P_1=[1,0,0] P_2=[0,1,0] P_3=[0,0,1] P_4=[0,1,1]$
$Q_1=[0,1,0] Q_2=[1,0,0] Q_3=[0,0,1] Q_4=[1,0,1]$
Determinare, se esiste, una proiettività $F:P^2(RR) rarr P^2(RR)$ tale che $F(P_i)=Q_i AAi=1,2,3,4$.
Ecco il mio ragionamento:
Poiché $P_2,P_3,P_4$ sono allineati, così come $Q_2,Q_3,Q_4$, non è possibile utilizzare il teorema di esistenza di una proiettività che asserisce appunto (applicandolo al caso in questione) che esiste una proiettività del tipo cercato $iff$ i punti sono a tre a tre non allineati.
Quindi sfrutto un altro teorema, che asserisce che una proiettività del tipo cercato esiste $iff$ i birapporti degli otto numeri sono uguali secondo la relazione $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)=beta(F(P_1),F(P_2),F(P_3),F(P_4))$, ossia $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)=beta(Q_1,Q_2,Q_3,Q_4)$.
A questo punto nasce il mio problema, che ho provato a risolvere in tre modi diversi:
MODO 1: Seguendo gli esempi svolti dal prof (che però riguardano sempre e solo 4 punti allineati) mi basta trovare le coordinate per ogni punto nella forma $P_i=[\lambda,\mu]$. Sia $t: x_0=0$ la retta passante per $P_2,P_3,P_4$. Posto $t=PP(U)$, con $dim(U)=2$ e $U=L((0,1,0),(0,0,1))=L(e_2,e_3)$, le coordinate saranno $P_2=[1,0],P_3=[0,1],P_4=[1,1]$ mentre $P_1=[0,0]$ ottenendo così un orribile $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)= 0/0$!
MODO 2: Sempre seguendo la logica del modo 1, decido di scegliere un sottospazio che contenga tutti e 4 i punti, ossia un piano che sarà quindi dato da $\pi=L(P_1,P_2,P_3,P_4)$ o, considerando la retta $t$ di cui sopra, $\pi=L(P_1,t)$. Ma a questo punti non so procedere... [Vedi post successivo]
MODO 3: Considero sempre le coordinate ricavate nel MODO 1, ossia $P_2=[1,0],P_3=[0,1],P_4=[1,1]$, lasciando però generico $P_1=[x_0,x_1]$ e ottenendo così $beta(P_1,P_2,P_3,P_4)= (x_0-x_1)/x_0$. Analogamente per i $Q_i$, considerando che rispetto alla retta $s: x_1=0$ passante per $Q_2,Q_3,Q_4$ le coordinate sono $Q_2=[1,0],Q_3=[0,1],Q_4=[1,1]$ e lasciando generico $Q_1=[y_0,y_1]$, si ottiene il birapporto $beta(Q_1,Q_2,Q_3,Q_4)=(y_0-y_1)/y_0$. Quindi deve valere che $(x_0-x_1)/x_0=(y_0-y_1)/y_0$. E anche questo svolgimento non mi porta da nessuna parte.
Mi scuso ancora per la lunghezza eccessiva del mio argomento ma purtroppo sia su questo forum che in internet in generale non sono riuscita a trovare nulla... Spero comunque di essere stata chiara e spero che qualcuno abbia voglia e pazienza di aiutarmi. Ringrazio anticipatamente chiunque risponderà!
Risposte
"Mate2013":
MODO 2: Sempre seguendo la logica del modo 1, decido di scegliere un sottospazio che contenga tutti e 4 i punti, ossia un piano che sarà quindi dato da $\pi=L(P_1,P_2,P_3,P_4)$ o, considerando la retta $t$ di cui sopra, $\pi=L(P_1,t)$. Ma a questo punti non so procedere...
Credo di aver scritto qualcosa di parecchio improbabile... Risulta $P^2(RR)$ piano proiettivo esso stesso... In effetti non posso cercare nessun piano $\pi$... Allora posso concludere semplicemente che, dato che i 4 punti sono non allineati, non è possibile determinarne il birapporto?
Altra idea: posso calcolare la proiettività rispetto a $P_1,P_2$ e $P_3$ che non sono tra loro allineati e verificare se la proiettività trovata verifica anche $F(P_4)=P_4$. Ha senso?
Ho provato a risolverlo secondo la mia ultima "illuminazione". Ecco il procedimento:
Considero le due basi di partenza e di arrivo per la proiettività $F$ scegliendo:
$B={P_1,P_2,P_3}$ per il dominio
$B={Q_1,Q_2,Q_3}$ per il codominio
e ottenendo così la proiettività:
$F([x_0,x_1,x_2])=[x_1,x_0,x_2]$
dove verifica $F(P_i)=Q_i AAi=1,2,3$. Resta da verificare che $F(P_4)=Q_4$:
$F(P_4)=F([0,1,1])=[1,0,1]=Q_4$
Quindi la proiettività trovata è quella richiesta.
Il ragionamento è giusto?
E se $F(P_4)$ fosse risultato diverso da $Q_4$? Avrei dovuto concludere che la proiettività non esisteva?
Considero le due basi di partenza e di arrivo per la proiettività $F$ scegliendo:
$B={P_1,P_2,P_3}$ per il dominio
$B={Q_1,Q_2,Q_3}$ per il codominio
e ottenendo così la proiettività:
$F([x_0,x_1,x_2])=[x_1,x_0,x_2]$
dove verifica $F(P_i)=Q_i AAi=1,2,3$. Resta da verificare che $F(P_4)=Q_4$:
$F(P_4)=F([0,1,1])=[1,0,1]=Q_4$
Quindi la proiettività trovata è quella richiesta.
Il ragionamento è giusto?
E se $F(P_4)$ fosse risultato diverso da $Q_4$? Avrei dovuto concludere che la proiettività non esisteva?
Io ho una domanda, probabilmente banale, ma non ho trovato risposta in nessun posto... cos'è β(P1,P2,P3,P4) e come si calcola? 
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