Matrice associatasociata

[zio_mangrovia]

La matrice associata all’operatore $A((u_1),(u_2)) = ((1,2),(1,3))((u_1),(u_2))$ ed alle basi $(1, 0), (1, 1)$ del dominio e $(1, 2), (0, 1)$ del codominio, come la si trova?

grazie

[anonymous_0b37e9]

Se $((1,2),(1,3))$ è la matrice che rappresenta l'operatore rispetto alla base naturale, mediante un duplice cambiamento di base: $((1,0),(2,1))^(-1)*((1,2),(1,3))*((1,1),(0,1))$

[zio_mangrovia]

"anonymous_0b37e9":Se $((1,2),(1,3))$ è la matrice che rappresenta l'operatore rispetto alla base naturale, mediante un duplice cambiamento di base: $((1,0),(2,1))^(-1)*((1,2),(1,3))*((1,1),(0,1))$

ma è scritto malissimo, non dovrebbe essere esplicitato che la matrice data $((1,2),(1,3))$ significa rispetto alla base naturale sia in $X$ che $Y$?
Dovrei procedere seguendo la linea dei miei appunti e vi chiederei supporto per allinearlo a quanto hai precedentemente esposto chiedendo conferma dell'esattezza del procedimento:

$A:X->Y$
$e_1,...,e_n$ base di $X$
$e'_1,...,e'_n$ base di $X$
$f_1,...,f_m$ base di $Y$
$f'_1,...,f'_m$ base di $Y$

$A=(a_(ij))$ matrice associata ad $A$ ed alla base $e_1,...,e_n$ e $f_1,...,f_m$
$A'=(a'_(hk))$ matrice associata ad $A$ ed alla base $e'_1,...,e'_n$ e $f'_1,...,f'_m$

$M$ matrice cambio di base da $e_1,...,e_n$ a $e'_1,...,e'_n$
$N$ matrice cambio di base da $f_1,...,f_m$ a $f'_1,...,f'_m$

quindi $A'=N^(-1)AM$
dove $M=((1,1),(0,1))$
comunque la matrice cambio di base $N=((2,1),(1,0))$ mi viene diversa, è la stessa cosa?!