Compito di geometria 2: assiomi di numerabilità
Salve, ho sostenuto da poco la prova scritta di geometria 2 e mi chiedevo come andasse risolta una parte del compito. Ecco l'esercizio:
Si munisca l'insieme R^2 della topologia A una cui base è costituita dai seguenti sottoinsiemi B={Cb,Qa} al variare di a, b reali positivi, con
Cb=C(0,b) intersecato R^2\I dove I={(x,y):x,y>0}
Qa=]0,a[x]0,a[
Si studino le proprietà topologica dell'insieme.
Se non ho capito male la topologia A è formata dal vuoto, da R^2, e da tutte le possibili unioni di cerchi di raggio b e centro nell'origine mancanti della porzione nel primo quadrante, e i quadrati nel primo quadrante con un vertice nell'origine, due lati sugli assi coordinati e lato di misura a.
Mi sembra evidente che l'insieme sia connesso in quanto non posso mai trovare due aperti disgiunti.
Per quanto riguarda la comattezza ho qualche dubbio ma non mi sembra compatto.
Assiomi di separazione: è T0 ma non T1
Sugli assiomi di numerabilità mi blocco.
Sapreste aiutarmi su questi ultimi? Ho sbagliato affermando che non è compatto?
Si munisca l'insieme R^2 della topologia A una cui base è costituita dai seguenti sottoinsiemi B={Cb,Qa} al variare di a, b reali positivi, con
Cb=C(0,b) intersecato R^2\I dove I={(x,y):x,y>0}
Qa=]0,a[x]0,a[
Si studino le proprietà topologica dell'insieme.
Se non ho capito male la topologia A è formata dal vuoto, da R^2, e da tutte le possibili unioni di cerchi di raggio b e centro nell'origine mancanti della porzione nel primo quadrante, e i quadrati nel primo quadrante con un vertice nell'origine, due lati sugli assi coordinati e lato di misura a.
Mi sembra evidente che l'insieme sia connesso in quanto non posso mai trovare due aperti disgiunti.
Per quanto riguarda la comattezza ho qualche dubbio ma non mi sembra compatto.
Assiomi di separazione: è T0 ma non T1
Sugli assiomi di numerabilità mi blocco.
Sapreste aiutarmi su questi ultimi? Ho sbagliato affermando che non è compatto?
Risposte
L'utilizzo dell'ASCII per la matematica è tutt'altro che ottimale. Sarebbe utile se usassi il Latex. Vediamo di riscrivere il testo:
Si munisca l'insieme \(\mathbb{R}^2\) della topologia \(\mathcal{A}\) una cui base è costituita dai seguenti sottoinsiemi \(\mathcal{B} = \{C_b:b\in\mathbb{R}^+\}\cup\{Q_a:a\in\mathbb{R}^+\}\), con \(C_b = C(\mathbf{0},b) \cap (\mathbb{R}^2\setminus I)\) dove \(I=\bigl\{(x,y):x,y>0\bigr\}\) e \(Q_a=]0,a[\times]0,a[\). Si studino le proprietà topologiche dell'insieme.
Direi che la spiegazione per la connessione è un po' carente. E' vera ma richiederebbe un po' più parole.
Per la compattezza, non mi sembra che esistano ricoprimenti di \(\mathbb{R}^2\) che non comprendano \(\mathbb{R}^2\) tra i suoi aperti. Ma forse mi sbaglio, non ci ho ragionato troppo e non faccio queste cosa da un paio di anni.
Riguardo agli assiomi di separazione, quale insieme separa \(\displaystyle (x,y) \) da \(\displaystyle (y,x) \) ?
Per gli assiomi di numerabilità è piuttosto semplice, infatti è facile estrarre una base numerabile da \(\mathcal{B}\) restringendo \(a\) e \(b\) a \(\mathbb{Q}^+\).
In generale comunque, in un esame di matematica non ci si aspetta solo la risposta ma anche il perché.
Si munisca l'insieme \(\mathbb{R}^2\) della topologia \(\mathcal{A}\) una cui base è costituita dai seguenti sottoinsiemi \(\mathcal{B} = \{C_b:b\in\mathbb{R}^+\}\cup\{Q_a:a\in\mathbb{R}^+\}\), con \(C_b = C(\mathbf{0},b) \cap (\mathbb{R}^2\setminus I)\) dove \(I=\bigl\{(x,y):x,y>0\bigr\}\) e \(Q_a=]0,a[\times]0,a[\). Si studino le proprietà topologiche dell'insieme.
Direi che la spiegazione per la connessione è un po' carente. E' vera ma richiederebbe un po' più parole.
Per la compattezza, non mi sembra che esistano ricoprimenti di \(\mathbb{R}^2\) che non comprendano \(\mathbb{R}^2\) tra i suoi aperti. Ma forse mi sbaglio, non ci ho ragionato troppo e non faccio queste cosa da un paio di anni.
Riguardo agli assiomi di separazione, quale insieme separa \(\displaystyle (x,y) \) da \(\displaystyle (y,x) \) ?
Per gli assiomi di numerabilità è piuttosto semplice, infatti è facile estrarre una base numerabile da \(\mathcal{B}\) restringendo \(a\) e \(b\) a \(\mathbb{Q}^+\).
In generale comunque, in un esame di matematica non ci si aspetta solo la risposta ma anche il perché.
Ma $C_b$ sono cerchi o sono palle?
Sono cerchi.
Ovvio che nel compito ho argomentato, qui ho evitato per non tediare la discussione. Ho brevemente riassunto le conclusioni a cui ero giunta e i dubbi invece che persistevano.
Per quanto riguarda gli assiomi di separazione per T0 si intende che per ogni coppia di punti x, y esiste un intorno di x non contenente y oppure un intorno di y non contenente x. Per T1 invece esistono entrambi.
Ovvio che nel compito ho argomentato, qui ho evitato per non tediare la discussione. Ho brevemente riassunto le conclusioni a cui ero giunta e i dubbi invece che persistevano.
Per quanto riguarda gli assiomi di separazione per T0 si intende che per ogni coppia di punti x, y esiste un intorno di x non contenente y oppure un intorno di y non contenente x. Per T1 invece esistono entrambi.
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