Applicazioni lineari

[Uomo Grasso]

Ciao a tutti! Apro un argomento sulle prime dimostrazioncine che svolgo sulle applicazioni lineari, così magari qualcuno può darmi un parere sulla loro correttezza.

Sia $L: VrarrU$ un'applicazione lineare. Mostrare che:

i) \(\displaystyle L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_U \): supponiamo per assurdo che \(\displaystyle L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{u}\ne\mathbf{0}_U\). Allora \(\displaystyle \forall\alpha,\beta\in K \) \[\displaystyle L(\alpha\mathbf{0}_V)=L(\mathbf{0}_V)=\alpha\mathbf{u}, \ L(\beta\mathbf{0}_V)=L(\mathbf{0}_V)=\beta\mathbf{u} \] ovvero ad unico vettore di $V$ sono associati più vettori (effettivamente tutti, credo) dello spazio $U$. Quindi supponendo la linearità cade addirittura l'ipotesi che $L$ sia un'applicazione, assurdo.

ii) se \(\displaystyle \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V \) sono tali che \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{0}_U \) e \(\displaystyle L(\mathbf{w})=\mathbf{u} \), allora \(\displaystyle L(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u} \). Vabbè questa è proprio facile ma intanto che ci siamo... Per la linearità dell'applicazione \(\displaystyle L(\mathbf{v}+\mathbf{w})=L(\mathbf{v})+L(\mathbf{w})=\mathbf{u}=\mathbf{0}_U+\mathbf{u} \).

iii) \(\displaystyle L(-\mathbf{v})=-L(\mathbf{v}) \): semplicemente scelgo nella definizione \(\displaystyle \alpha=-1 \). (forse qui c'è un tranello? Mi sembra troppo semplice!).

iv) il sottoinsieme $W$ dei vettori \(\displaystyle \mathbf{v} \) tali che \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{0}_U \) è un sottospazio vettoriale di $V$: sicuramente $W$ contiene \(\displaystyle \mathbf{0}_V \) poiché per quanto visto sopra \(\displaystyle L(\mathbf{0_V})=\mathbf{0}_U \) necessariamente. Inoltre \(\displaystyle L(\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2)=\mathbf{0}_U \) e \(\displaystyle L(\alpha\mathbf{w})=\mathbf{0}_U \) per la linearità dell'applicazione.

v) se $W$ è il sottoinsieme dei vettori di $V$ tali che \(\displaystyle L(\mathbf{w})=\mathbf{0}_U \), e se \(\displaystyle \forall\mathbf{u}\in U \) esiste \(\displaystyle \mathbf{v}_0\in V \) tale che \(\displaystyle L(\mathbf{v}_0)=\mathbf{u} \), allora l'insieme dei \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \) che soddisfano \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{u} \) è precisamente \(\displaystyle \mathbf{v}_0+W \).

Allora, è chiaro che per definizione ogni vettore di tale insieme soddisfa la condizione: infatti il generico vettore di \(\displaystyle \mathbf{v}_0+W \) è mandato in \(\displaystyle L(\mathbf{v}_0)+L(\mathbf{w})=\mathbf{u}+\mathbf{0}_U=\mathbf{u} \). Dobbiamo quindi mostrare che se \(\displaystyle \mathbf{v} \) è tale che \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{u} \) allora \(\displaystyle \mathbf{v}\in (\mathbf{v}_0+W) \). Ma se \(\displaystyle \mathbf{v}\ne\mathbf{v}_0 \) non può essere \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{u} \)? Certo, la funzione non sarebbe inettiva, ma poco importa, giusto? Non capisco quindi cosa dovrei dimostrare...

[anto_zoolander]

1) solo una precisazione: per come l'hai posta otterresti che $alphau=betau => (alpha-beta)u=0 => alpha=beta$ quindi non c'è nessuna contraddizione, poichè se dici $forallalpha,beta inK$ allora non ottieni una contraddizione, ti basta prendere $alpha, beta inKsetminus{0}:alphanebeta$.
Se posso darti un consiglio, potrebbero obiettarti qualcosa nella contraddizione che hai trovato, magari i più pignoli ti direbbero che poiché $L$ è applicazione deve proprio essere $alphau=betau$ da lì a trovare la contraddizione forte è un attimo poiché otterresti che $(alpha-beta)u=0_W$ cosa impossibile visto che $alpha-beta ne 0$ e $u ne 0_W$

ci sono almeno due alternative immediate, è stata una tua scelta usare questa, oppure non le conosci?

ii) corretto

iii) semplicemente

$0_W=L(0_V)=L(v+(-v))=L(v)+L(-v) => L(v)+L(-v)=0_W => L(-v)=-L(v)$

alternativamente ci si può chiedere quando

$lambda*L(v)+L(v)=0_W <=> L(v)*(lambda+1)=0_W$ se $L(v) ne 0_W => lambda=-1$

in genere la prima è più carina.
quindi non ci sono tranelli

iv) yes

v) è esattamente equivalente al problema precedente nel cercare le soluzioni dell'equazione $L(v)=u$
Riguardandola sapresti dirmi cosa manca per concludere e come concludere?

[Uomo Grasso]

Per la prima ne ho trovata una che fa uso del fatto che \(\displaystyle \mathbf{0}_V=0\mathbf{0}_V \), da cui \(\displaystyle L(0\mathbf{0}_V)=0L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_W \) che va più liscia!

Per la quinta invece non ho capito a cosa ti stai riferendo

[anto_zoolander]

Si insomma hai capito che ne esistono parecchie

Nel post precedente avevi da dimostrare che in genere dato l’insieme $A={v inV:L(v)=u}$ si avesse $A=v_0+Ker(L)$. Non trovi che sia la stessa dimostrazione?

[Uomo Grasso]

Accidenti come ho fatto a non rendermene conto! Effettivamente sono assolutamente identiche.

Anto il tuo aiuto è davvero prezioso, ti prendi sempre la briga di rispondere in dettaglio... sicuro che non debba cominciare a pagarti tra qualche post?

[anto_zoolander]

Ti ringrazio per il complimento ;-D
Cerco solo di ricambiare ciò che è stato fatto con me all’interno di questo forum