Geometria e Algebra Lineare

Ciao! Ho un nuovo paio di dimostrazioni notturne da sottoporvi! Se $A$ e $B$ sono due matrici quadrate qualsiasi, allora \(\displaystyle \text{tr}\ AB=\text{tr}\ BA \): \[\displaystyle \text{tr}\ AB=\sum_{k=1}^n\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{rk}=\sum_{r=1}^n\sum_{k=1}^n b_{rk}a_{kr}=\text{tr}\ BA.\] Nel secondo passaggio uso la definizione di moltiplicazione di matrici: \(\displaystyle c_{ki}=\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{ri} \) nel caso particolare \(\displaystyle k=i \). ...

Ciao a tutti! Apro un argomento sulle prime dimostrazioncine che svolgo sulle applicazioni lineari, così magari qualcuno può darmi un parere sulla loro correttezza. Sia $L: VrarrU$ un'applicazione lineare. Mostrare che: i) \(\displaystyle L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_U \): supponiamo per assurdo che \(\displaystyle L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{u}\ne\mathbf{0}_U\). Allora \(\displaystyle \forall\alpha,\beta\in K \) \[\displaystyle L(\alpha\mathbf{0}_V)=L(\mathbf{0}_V)=\alpha\mathbf{u}, \ ...

Ciao a tutti, nel familiarizzarmi con nuclei e immagini mi sono imbattuto nei seguenti esercizi a cui mi piacerebbe deste uno sguardo. i) Siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbb{R}^2 \) linearmente indipendenti e \(\displaystyle L:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^n\). Mostrare che o \(\displaystyle L(\mathbf{v}), L(\mathbf{w}) \) sono l.i., o l'immagine di \(\displaystyle L \) ha al più dimensione $1$. Supponiamo \(\displaystyle L(\mathbf{v}), L(\mathbf{w}) \) ...

Sia \(\displaystyle V=\mathbb{R}^2 \), $W$ il sottospazio generato da $(2,1)$ e $U$ quello generato da $(0,1)$. Mostrare che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=U\oplus W \). Mostrare inoltre che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=U'\oplus W \) se \(\displaystyle U' \) è generato da \(\displaystyle (1,1) \). Intanto è chiaro che \(\displaystyle (2,1) \) è l.i. rispetto agli altri due vettori, quindi \(\displaystyle U\cap W=U'\cap W=\mathbf{0} \). Inoltre il ...

Buonasera, In \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) siano dati i vettori: \(\displaystyle \mathbf{u_1}=(1,-2,0,4) \) \(\displaystyle \mathbf{u_2}=(-1,1,1,0) \) \(\displaystyle \mathbf{u_3}=(0,0,1,2) \) 1) Verificare che i vettori \(\displaystyle \mathbf{u_1} , \mathbf{u_2} , \mathbf{u_3} \) sono linearmente indipendenti e trovare una di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) 2) Rispetto alle basi canoniche di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) e \(\displaystyle \mathbb{R^3} \), scrivere la matrice associata ...

Buongiorno a tutti, ho un po' di confusione su un concetto di geometria differenziale: le curve principali del piano. Il prof a lezione ci ha detto che tutte le curve del piano sono principali, ma io so che in un piano tutti i punti sono ombellicali, cioè che le curvature principali coincidono e valgono 0 , ma questa è anche la definizione di punto planare e so che in un punto planare tutte le direzioni sono asintotiche. Quindi perchè in un piano tutte le curve sono principali? Non dovrebbero ...

Ciao a tutti, sono incappato in questo problema, che proprio non riesco a risolvere: - ho due vettori A e B, come nelle immagini; - ho un vettore C, che può essere un vettore qualsiasi. Come posso fare a capire se C è compreso, del tutto o in parte, nello spazio delimitato da A e B? Grazie mille!

Sia $ A \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $ e $ X \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $, sia inoltre $ T : M_{n,n}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{n,n}(\mathbb{R}) | T(X)=AX $. Trovare il determinante dell'applicazione $ det(T) $. Il testo come soluzione riporta $ det(T)=(det(A))^n $, ma non riesco a capire come mai. La matrice associata all'applicazione $ T $ non dovrebbe essere $ A $ stessa? Se sì, perché non è $ det(T)=det(A) $ ? non riesco proprio a capire ora come ora. Ringrazio anticipatamente chi abbia la pazienza di aiutarmi!

Dimostrare l'identità \(\displaystyle \dim(V\times U)=\dim V+\dim U \) (ultimo esercizio di oggi!). Premettendo che credo si possa facilmente generalizzare all'identità \[\displaystyle \dim\prod_{j=1}^nV_j=\sum_{j=1}^n \dim V_j \] mi occupo del caso più specifico. Il generico elemento di \(\displaystyle V\times U \) è la coppia \(\displaystyle (\mathbf{v},\mathbf{u}) \). Se \(\displaystyle \mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_n,...,\mathbf{v}_n\}\) è una base di $V$ e \(\displaystyle ...

Sia \(\displaystyle L_u: V\rightarrow V \) una traslazione secondo il vettore \(\displaystyle \mathbf{u}\in V \). Per quali vettori \(\displaystyle \mathbf{u} \) \(\displaystyle L_u \) è un'applicazione lineare? Dimostrare quanto affermato. Innanzitutto, suppongo che una traslazione sia rappresentabile in questo caso nel modo seguente: se \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), rispetto alla base canonica \(\displaystyle \mathcal{E} \) si scrive \(\displaystyle ...

Buongiorno a tutti, propongo un esercizio che mi sta facendo avere non pochi dubbi : Si consideri la seguente matrice A: $A = ((6,3,1),(2,7,-1),(2,3,3))$ Calcolare gli autovalori di A ed i corrispondenti autovettori ed autospazi. segue una mia possibile soluzione: $(A-λI) = ((6-λ,3,1),(2,7-λ,-1),(2,3,3-λ))$ moltiplicando la seconda riga per -1 e sommando alla terza ottengo: $(A-λI)' = ((6-λ,3,1),(2,7-λ,-1),(0,-4+λ,4-λ))$ e ricavo il polinomio caratteristico calcolando il determinate della matrice (A-λI)' utilizzando gli sviluppi di Laplace rispetto alla ...

Dato il piano $\pi = x-y+z=0$ e il punto $P(0,1,1)$ e la retta $r=\{(x = z),(y = z):}$ Determinare il piano $\pi'$ passante per $P$ perpendicolare ad $\pi$ e parallelo alla retta $\r$ Svolgimento: parametri direttori piano $v_pi= (1, -1, 1)$ parametri direttori retta $v_r= (1, 1, 1)$ Eq. generica del piano: $\gamma = ax+by+cz+d=0$ parametri direttori piano generico $v_gamma= (a, b, c)$ Piano passante per $P$ ...

Salve, ho un problema con il seguente esercizio: Si munisca R della topologia formata dalle semirette destre con origine positiva. Siano assegnati i seguenti insemi: A={x: x^2>1}, B={x: x>0}, C={x: x^2-x>0}, D={x: x

Ciao a tutti, devo mostrare che se $A$ è una matrice quadrata e \(\displaystyle A^2=\mathbf{0} \), allora la matrice \(\displaystyle \mathbb{I}-A \) è invertibile, prima di generalizzare il risultato al caso \(\displaystyle A^n=\mathbf{0} \). Lo scopo quindi è determinare se esista $C$ tale che \(\displaystyle (\mathbb{I}-A)C=C(\mathbb{I}-A)=\mathbb{I} \). Dal momento che \(\displaystyle A^2=\mathbf{0} \) e \(\displaystyle \mathbb{I}^2=\mathbb{I} \), si ha ...

Buongiorno, Mi potreste spiegare perchè nell’insieme libero costituito, nel mio caso, da un solo vettore, esso viene definito linearmente indipendente se e solo se il coefficiente alpha=0 e il vettore non è nullo? Ho provato a guardare su alcuni testi ma viene dato per scontato. C’é per caso una proprietà speciale dietro? Grazie.

Ciao a tutti!! Devo mostrare che se \(\displaystyle V/K \) è uno spazio vettoriale e \(\displaystyle a\in K \), allora \(\displaystyle a\mathbf{0}=\mathbf{0} \). Solo che sono ancora molto scarso con le dimostrazioni anche banali! La mia proposta: \(\displaystyle a\mathbf{0}=a(\mathbf{0}+\mathbf{0})=a\mathbf{0}+a\mathbf{0}=2a\mathbf{0} \Leftrightarrow a\mathbf{0}=\mathbf{0} \) Che dite, è okay? Sto pian pianino (molto piano) attraversando il Lang per imparare un po' di algebra lineare in ...

Ciao a tutti! Siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u}\in\mathbb{R}^2 \) vettori non nulli. Mostrare che se non esiste alcun numero \(\displaystyle c \) tale che \(\displaystyle c\mathbf{v}=\mathbf{u} \) allora \(\displaystyle \mathcal{B}=\{\mathbf{u},\mathbf{v}\} \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Mostrare inoltre che \(\displaystyle \mathbb{R}^n=V\oplus U \), dove $V$ e $U$ sono rispettivamente i sottospazi generati da \(\displaystyle \mathbf{v} ...

Ho questo esercizio: Siano $X=-y\partial_x + x\partial_y$ e $Y=x \partial_x + y \partial_y$ campi di vettori su $\mathbb{R^2}$ Calcolare $[X,Y]$. Potreste dirmi come impostare tale esercizio per piacere? Non so neanche da dove iniziare

Ciao, devo stabilire se questa matrice reale è diagonalizzabile e in tal caso diagonalizzarla.Ho un dubbio sul primo quesito. La matrice è A=$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$ Mi definisce un endomorifismo $f:R^3->R^3$. Cosi definito $f(x,y,z)=(x+y+z,x+y+z,x+y+z)$ La matrice A è diagonalizzabile se e solo se f è semplice.Si tratta di esercizi guidati e il libro giunge alla conclusione che è diagonalizzabile.Ma io ho qualche dubbio perche f ha 2 autovalori distinti non 3.Perciò una base di $R^3$ formata ...

Ciao,la regola di Cramer si applica solo per determinare la soluzione di un sistema lineare determinato?Giusto?Grazie.