Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera,
In \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) siano dati i vettori:
\(\displaystyle \mathbf{u_1}=(1,-2,0,4) \)
\(\displaystyle \mathbf{u_2}=(-1,1,1,0) \)
\(\displaystyle \mathbf{u_3}=(0,0,1,2) \)
1) Verificare che i vettori \(\displaystyle \mathbf{u_1} , \mathbf{u_2} , \mathbf{u_3} \) sono linearmente indipendenti e trovare una di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \)
2) Rispetto alle basi canoniche di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) e \(\displaystyle \mathbb{R^3} \), scrivere la matrice associata ...
Buongiorno a tutti,
ho un po' di confusione su un concetto di geometria differenziale: le curve principali del piano.
Il prof a lezione ci ha detto che tutte le curve del piano sono principali, ma io so che in un piano tutti i punti sono ombellicali, cioè che le curvature principali coincidono e valgono 0 , ma questa è anche la definizione di punto planare e so che in un punto planare tutte le direzioni sono asintotiche. Quindi perchè in un piano tutte le curve sono principali? Non dovrebbero ...
Sia $ A \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $ e $ X \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $, sia inoltre $ T : M_{n,n}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{n,n}(\mathbb{R}) | T(X)=AX $.
Trovare il determinante dell'applicazione $ det(T) $.
Il testo come soluzione riporta $ det(T)=(det(A))^n $, ma non riesco a capire come mai.
La matrice associata all'applicazione $ T $ non dovrebbe essere $ A $ stessa? Se sì, perché non è $ det(T)=det(A) $ ?
non riesco proprio a capire ora come ora.
Ringrazio anticipatamente chi abbia la pazienza di aiutarmi!
Dimostrare l'identità \(\displaystyle \dim(V\times U)=\dim V+\dim U \) (ultimo esercizio di oggi!). Premettendo che credo si possa facilmente generalizzare all'identità \[\displaystyle \dim\prod_{j=1}^nV_j=\sum_{j=1}^n \dim V_j \] mi occupo del caso più specifico. Il generico elemento di \(\displaystyle V\times U \) è la coppia \(\displaystyle (\mathbf{v},\mathbf{u}) \). Se \(\displaystyle \mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_n,...,\mathbf{v}_n\}\) è una base di $V$ e \(\displaystyle ...
Sia \(\displaystyle L_u: V\rightarrow V \) una traslazione secondo il vettore \(\displaystyle \mathbf{u}\in V \). Per quali vettori \(\displaystyle \mathbf{u} \) \(\displaystyle L_u \) è un'applicazione lineare? Dimostrare quanto affermato.
Innanzitutto, suppongo che una traslazione sia rappresentabile in questo caso nel modo seguente: se \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), rispetto alla base canonica \(\displaystyle \mathcal{E} \) si scrive \(\displaystyle ...
Buongiorno a tutti, propongo un esercizio che mi sta facendo avere non pochi dubbi :
Si consideri la seguente matrice A:
$A = ((6,3,1),(2,7,-1),(2,3,3))$
Calcolare gli autovalori di A ed i corrispondenti autovettori ed autospazi.
segue una mia possibile soluzione:
$(A-λI) = ((6-λ,3,1),(2,7-λ,-1),(2,3,3-λ))$
moltiplicando la seconda riga per -1 e sommando alla terza ottengo:
$(A-λI)' = ((6-λ,3,1),(2,7-λ,-1),(0,-4+λ,4-λ))$
e ricavo il polinomio caratteristico calcolando il determinate della matrice (A-λI)' utilizzando gli sviluppi di Laplace rispetto alla ...
Dato il piano $\pi = x-y+z=0$ e il punto $P(0,1,1)$ e la retta $r=\{(x = z),(y = z):}$
Determinare il piano $\pi'$ passante per $P$ perpendicolare ad $\pi$ e parallelo alla retta $\r$
Svolgimento:
parametri direttori piano $v_pi= (1, -1, 1)$
parametri direttori retta $v_r= (1, 1, 1)$
Eq. generica del piano:
$\gamma = ax+by+cz+d=0$
parametri direttori piano generico $v_gamma= (a, b, c)$
Piano passante per $P$ ...
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
Si munisca R della topologia formata dalle semirette destre con origine positiva. Siano assegnati i seguenti insemi:
A={x: x^2>1}, B={x: x>0}, C={x: x^2-x>0}, D={x: x
Ciao a tutti, devo mostrare che se $A$ è una matrice quadrata e \(\displaystyle A^2=\mathbf{0} \), allora la matrice \(\displaystyle \mathbb{I}-A \) è invertibile, prima di generalizzare il risultato al caso \(\displaystyle A^n=\mathbf{0} \).
Lo scopo quindi è determinare se esista $C$ tale che \(\displaystyle (\mathbb{I}-A)C=C(\mathbb{I}-A)=\mathbb{I} \).
Dal momento che \(\displaystyle A^2=\mathbf{0} \) e \(\displaystyle \mathbb{I}^2=\mathbb{I} \), si ha ...
Buongiorno,
Mi potreste spiegare perchè nell’insieme libero costituito, nel mio caso, da un solo vettore, esso viene definito linearmente indipendente se e solo se il coefficiente alpha=0 e il vettore non è nullo?
Ho provato a guardare su alcuni testi ma viene dato per scontato. C’é per caso una proprietà speciale dietro?
Grazie.
Ciao a tutti!! Devo mostrare che se \(\displaystyle V/K \) è uno spazio vettoriale e \(\displaystyle a\in K \), allora \(\displaystyle a\mathbf{0}=\mathbf{0} \). Solo che sono ancora molto scarso con le dimostrazioni anche banali!
La mia proposta: \(\displaystyle a\mathbf{0}=a(\mathbf{0}+\mathbf{0})=a\mathbf{0}+a\mathbf{0}=2a\mathbf{0} \Leftrightarrow a\mathbf{0}=\mathbf{0} \)
Che dite, è okay? Sto pian pianino (molto piano) attraversando il Lang per imparare un po' di algebra lineare in ...
Ciao a tutti! Siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u}\in\mathbb{R}^2 \) vettori non nulli. Mostrare che se non esiste alcun numero \(\displaystyle c \) tale che \(\displaystyle c\mathbf{v}=\mathbf{u} \) allora \(\displaystyle \mathcal{B}=\{\mathbf{u},\mathbf{v}\} \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Mostrare inoltre che \(\displaystyle \mathbb{R}^n=V\oplus U \), dove $V$ e $U$ sono rispettivamente i sottospazi generati da \(\displaystyle \mathbf{v} ...
Ho questo esercizio:
Siano $X=-y\partial_x + x\partial_y$ e $Y=x \partial_x + y \partial_y$ campi di vettori su $\mathbb{R^2}$
Calcolare $[X,Y]$.
Potreste dirmi come impostare tale esercizio per piacere? Non so neanche da dove iniziare
Ciao, devo stabilire se questa matrice reale è diagonalizzabile e in tal caso diagonalizzarla.Ho un dubbio sul primo quesito.
La matrice è A=$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
Mi definisce un endomorifismo $f:R^3->R^3$.
Cosi definito $f(x,y,z)=(x+y+z,x+y+z,x+y+z)$
La matrice A è diagonalizzabile se e solo se f è semplice.Si tratta di esercizi guidati e il libro giunge alla conclusione che è diagonalizzabile.Ma io ho qualche dubbio perche f ha 2 autovalori distinti non 3.Perciò una base di $R^3$ formata ...
Sto preparando l'esame di geometria 2 e la prima domanda di topologia che pone sempre il mio professore è la determinazione dielle proprietà topologiche di una topologia assegnata. Ad esempio nell'esercizio proposto:
"Si munisca R della topologia A={0, R, (a,+oo)} al variare di a>=0, e si studino le proprietà topologiche"
Ho calcolato che l'insieme è connesso perchè non esistono aperti disgiunti e non è T0 perchè se scelgo due punti negativi ognuno di essi ha per unico intorno tutto R. Ho ...
Ciao, devo trovare autovalori ed autovettori della matrice $A=((2,-1),(1,0))$ associata all'endomorfismo $fR^2->R^2$ così definito $f(x,y)=(2x-y,x)$
Calcolo il p.c. ed esce $T^2-2T+1$.
La matrice ha un solo autovalore che è $k=1$.La molteplicità algebrica di k è 2.Mi chiede anche di dimostare che gli autovettori formano uno spazio di dimensione 1.Calcolo allore la molteplicità geometrica e mi blocco.Perche viene $2-2=0$ il che non può essere data la relazione ...
Salve, domani ho un esame di geometria e non mi è chiara una questione.
Data la quadrica x^2+y^2-z^2+2xz-2xt+6yt-4zt-4t^2=0 determinare il piano tangente la quadrica nel punto P(1,1,1,0).
Ho calcolato che la quadrica è un iperbolide iperbolico e so che generalmente se il punto appartiene alla quadrica calcolare il piano tangente equivale a calcolare il piano polare. Nel caso proposto P non è un punto della quadrica. Come procedo?
Ciao a tutti,
Vorrei sapere che ne pensate di questo esercizio:
Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P=(3,-4,5) e parallela ai piani:
alfa: 2x+3y-5z+7=0 e beta:5x-y+8z-3=0
Io avevo iniziato a risolverlo in questo modo:
L'equazione parametrica di r imponendo il passaggio per il punto P sarebbe:
x=at+3
r: y=bt-4
z=ct+5
Dato che r è parallela ai due piani, sarà perpendicolare ai loro rispettivi vettori ortogonali. Per cui, se v è il vettore ...
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