Determinazione spazio vettoriale
Buonasera, devo dimostrare che:
\(A=\left\{\left(ax^2+bx+c\right)∈R_2\left[x\right]:2a+3b=0\right\}\)
è uno spazio vettoriale.
Mi è facile dimostrarlo per i polinomi di grado 2 a coefficienti reali (l'insieme sarebbe chiuso sia per la somma interna sia per il prodotto esterno), invece, con la seconda condizione non so come comportarmi.
(In generale mi trovo in difficoltà a dimostrare qualcosa mentre mi riesce meglio dimostrare con un controesempio la non validità di qualcosa.)
\(A=\left\{\left(ax^2+bx+c\right)∈R_2\left[x\right]:2a+3b=0\right\}\)
è uno spazio vettoriale.
Mi è facile dimostrarlo per i polinomi di grado 2 a coefficienti reali (l'insieme sarebbe chiuso sia per la somma interna sia per il prodotto esterno), invece, con la seconda condizione non so come comportarmi.
(In generale mi trovo in difficoltà a dimostrare qualcosa mentre mi riesce meglio dimostrare con un controesempio la non validità di qualcosa.)
Risposte
Se io ti chiedessi di dirmi se il sottoinsieme di $RR^3$ fatto dai vettori $(a,b,c)$ tali che $2a+3b=0$ è uno spazio vettoriale, cosa risponderesti? E questo esempio è diverso in qualcosa? Se sì, in cosa?
Ciao, provo ad aiutarti io! 
Lavoriamo per comodità con i vettori del tipo \(\displaystyle \mathbf{v}=(a,b,c) \), tanto è equivalente. La somma di due vettori di questo tipo è \(\displaystyle \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=(2a,2b,2c) \). Il problema adesso è capire se tale vettore soddisfa ancora la condizione: si ha \(\displaystyle 2(2a)+3(2b)=4a+6b=0 \), e tenendo presente \(\displaystyle 2a+3b=0 \), si vede subito che le due equazioni sono equivalenti (basta moltiplicare per due!).
D'altro canto \(\displaystyle \lambda\mathbf{v}=(\lambda a,\lambda b, \lambda c) \): considera quindi l'equazione \(\displaystyle 2\lambda a+3\lambda b=0 \). La questione è sempre la stessa, poiché l'equazione si riscrive \(\displaystyle \lambda(2a+3b)=0 \), certamente verificata.
Lo zero di $RR^3$ è sicuramente incluso poiché il vettore \(\displaystyle (0,0,0) \) soddisfa certamente l'equazione \(\displaystyle 2a+3b=0 \), che sostituendo diventa semplicemente l'identità \(\displaystyle 0=0 \).
Se ho commesso degli errori qualcuno mi correggerà spero ciao!
Lavoriamo per comodità con i vettori del tipo \(\displaystyle \mathbf{v}=(a,b,c) \), tanto è equivalente. La somma di due vettori di questo tipo è \(\displaystyle \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=(2a,2b,2c) \). Il problema adesso è capire se tale vettore soddisfa ancora la condizione: si ha \(\displaystyle 2(2a)+3(2b)=4a+6b=0 \), e tenendo presente \(\displaystyle 2a+3b=0 \), si vede subito che le due equazioni sono equivalenti (basta moltiplicare per due!).
D'altro canto \(\displaystyle \lambda\mathbf{v}=(\lambda a,\lambda b, \lambda c) \): considera quindi l'equazione \(\displaystyle 2\lambda a+3\lambda b=0 \). La questione è sempre la stessa, poiché l'equazione si riscrive \(\displaystyle \lambda(2a+3b)=0 \), certamente verificata.
Lo zero di $RR^3$ è sicuramente incluso poiché il vettore \(\displaystyle (0,0,0) \) soddisfa certamente l'equazione \(\displaystyle 2a+3b=0 \), che sostituendo diventa semplicemente l'identità \(\displaystyle 0=0 \).
Se ho commesso degli errori qualcuno mi correggerà spero
ciao!
Ovviamente l'OP deve conoscere gli isomorfismi per capire di cosa parlate 
Gli isomorfismi non li abbiamo ancora fatti... Però ho capito la risposta di @Uomo Grasso. Grazie a tutti.
"gianni97":
Gli isomorfismi non li abbiamo ancora fatti... Però ho capito la risposta di @Uomo Grasso. Grazie a tutti.
Mi togli una curiosità? Come si fa a "non avere fatto" gli isomorfismi? Un isomorfismo è un omomorfismo invertibile, non c'è alcun bisogno di "farlo"; è semplicemente un aggeggio di cui il linguaggio di cui disponi ti permette di parlare. Un aggeggio molto utile, tra l'altro.
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