Domanda geometria algebrica
Perché $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m $ e $\mathbb{P}^{n+m}$ non sono isomorfo come varietà?
Grazie
Grazie
Risposte
Dovresti dire su che campo stai lavorando: su $CC$ si fa mostrando che la coomologia[1] a coefficienti razionali[2] dei due spazi è diversa in almeno un grado; per esempio
\[
1 = b_2(\mathbb P^{n+m}) \not\cong b_2(\mathbb P^n\times\mathbb P^m) \cong 2
\]
[0] $b_i(X) = \dim H^i(X, QQ)$.
[1] la coomologia dei fasci di $P^\#$ coincide con quella singolare.
[2] perché se te lo dimostro senza torsione va bene lo stesso (è il contrario che non è sufficiente), tuttavia va bene anche quella integrale, perché i gruppi di coomologia degli spazi complessi sono tutti liberi. Per gli spazi proiettivi reali, invece, è meglio prendere la coomologia a coefficienti in un campo (ma chi fa geometria algebrica reale?).
\[
1 = b_2(\mathbb P^{n+m}) \not\cong b_2(\mathbb P^n\times\mathbb P^m) \cong 2
\]
[0] $b_i(X) = \dim H^i(X, QQ)$.
[1] la coomologia dei fasci di $P^\#$ coincide con quella singolare.
[2] perché se te lo dimostro senza torsione va bene lo stesso (è il contrario che non è sufficiente), tuttavia va bene anche quella integrale, perché i gruppi di coomologia degli spazi complessi sono tutti liberi. Per gli spazi proiettivi reali, invece, è meglio prendere la coomologia a coefficienti in un campo (ma chi fa geometria algebrica reale?).
Se \(\Sigma_{m,n}\) fosse isomorfo a \(\mathbb{P}^{m+n}\), per il teorema di Bézout una ipersuperficie (tipo un iperpiano) e una curva non sono mai disgiunti; ma questa affermazione è falsa in \(\Sigma_{m,n}\) per cui non è uno spazio proiettivo.
Lascio a te il compito di trovare un esempio.
P.S.: Sottointendo che le varietà algebriche proiettive in questione, siano definite su un campo algebricamente chiuso, di caratteristica \(0\).
Lascio a te il compito di trovare un esempio.
P.S.: Sottointendo che le varietà algebriche proiettive in questione, siano definite su un campo algebricamente chiuso, di caratteristica \(0\).
"killing_buddha":Se non erro, per la ricostruzione delle immagini al computer, si utilizzano tecniche di geometria algebrica, proiettiva, reale.
...(ma chi fa geometria algebrica reale?).
Grazie mille per l'idea ma non sono riuscito a trovare un contro esempio potresti aiutarmi?
"Fabio._94":
Grazie mille per l'idea ma non sono riuscito a trovare un contro esempio potresti aiutarmi?
Te l'ho scritto! Gli $H^2$ dei due spazi sono diversi, quindi non possono essere isomorfi. Se vuoi un esempio concreto, prendi $n=m=1$.
Ti ringrazio per la disponibilità ma Intendevo un contro esempio alla risposta di j8eos mi serviva una dimostrazione simile.
Cioè non ti va bene usare la coomologia 
ma viene meglio.
ma viene meglio.
Mi dispiace ma per i miei scopi ho bisogno di una dimostrazione che utilizza nozioni di base☺️
Siano \(\displaystyle H\) un'ipersuperficie in \(\displaystyle\mathbb{P}^n\), \(\displaystyle P\in\mathbb{P}^n\setminus H\) ed \(\displaystyle r\) una retta in \(\displaystyle\mathbb{P}^m\)... come li "cucini" per ottenere un esempio adatto allo scopo?
Sto pensando al fatto che $ {p} \times r $ e $H \times r$ dovrebbero avere intersezione vuota é corretto?
Sì, però:
[list=1]
[*:2tcj0e6o]\(\displaystyle r\times\{P\}\) è una retta di \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\);[/*:m:2tcj0e6o]
[*:2tcj0e6o]\(\displaystyle r\times H\) ha dimensione \(\displaystyle1+n-1=n\) e non è una ipersuperficie di \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\).[/*:m:2tcj0e6o][/list:o:2tcj0e6o]
[list=1]
[*:2tcj0e6o]\(\displaystyle r\times\{P\}\) è una retta di \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\);[/*:m:2tcj0e6o]
[*:2tcj0e6o]\(\displaystyle r\times H\) ha dimensione \(\displaystyle1+n-1=n\) e non è una ipersuperficie di \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\).[/*:m:2tcj0e6o][/list:o:2tcj0e6o]
Se prendo $H$ ipersuperficie di $\mathbb(P)^n$ , $P \in \mathbb(P)^n \backslash H $ e $X$ in $\mathbb(P)^m$ con $m > dim(X) > m/2 $ allora :
$\{ P\} \times X$ e $H \times X$ sono disgiunti inoltre
$ dim(\{ P\} \times X) = dim(X)+1$ e $ dim(H \times X) = dim(X)+n-1$
allora $ dim(\{ P\} \times X) + dim(H \times X) -(n+m) = dim(X) + 1 + dim(X)+n-1 -n -m = $
$2dim(X) - m > m -m = 0$ allora se fosse uno spazio proiettivo si dovebbero intersecare e questo è assurdo.
Così può andare?
$\{ P\} \times X$ e $H \times X$ sono disgiunti inoltre
$ dim(\{ P\} \times X) = dim(X)+1$ e $ dim(H \times X) = dim(X)+n-1$
allora $ dim(\{ P\} \times X) + dim(H \times X) -(n+m) = dim(X) + 1 + dim(X)+n-1 -n -m = $
$2dim(X) - m > m -m = 0$ allora se fosse uno spazio proiettivo si dovebbero intersecare e questo è assurdo.
Così può andare?
Sì, va bene con \(\displaystyle m\geq2\)!
La mia idea iniziale è: \(\displaystyle r\times\{P\}\) e \(\displaystyle\mathbb{P}^m\times H\) sono, rispettivamente, una retta e una ipersuperficie in \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) disgiunte; quindi \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) e \(\displaystyle\mathbb{P}^{m+n}\) non sono varietà algebriche proiettive isomorfe, perché nella prima il teorema di Bézout non è valido.
La mia idea iniziale è: \(\displaystyle r\times\{P\}\) e \(\displaystyle\mathbb{P}^m\times H\) sono, rispettivamente, una retta e una ipersuperficie in \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) disgiunte; quindi \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) e \(\displaystyle\mathbb{P}^{m+n}\) non sono varietà algebriche proiettive isomorfe, perché nella prima il teorema di Bézout non è valido.
Grazie mille per la disponibilità sei stato gentilissimo
6100-imo messaggio! 
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Propongo un'altra dimostrazione, che non richiede la conoscenza di risultati profondi, tipo il già citato teorema di Bézout!
Siano \(\displaystyle\mathbb{K}\) un campo algebricamente chiuso[nota]Non c'è alcuna ipotesi sulla caratteristica di \(\displaystyle\mathbb{K}\)![/nota], \(\displaystyle\Sigma_{m,n}=\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n\) la varietà di Segre di tipo \(\displaystyle(m,n)\) su \(\displaystyle\mathbb{K}\); per costruzione eistono dei morfismi regolari canonici \(\displaystyle\pi_k:\Sigma_{m,n}\to\mathbb{P}^k\) non costanti, ove \(\displaystyle k\in\{m,n\}\).
Sia \(\displaystyle\varphi:\mathbb{P}^{m+n}\to\mathbb{P}^n\) un morfismo regolare, per definizione il suo pull-back \(\displaystyle\varphi^{*}:\mathbb{K}[x_0,...,x_n]_h\to\mathbb{K}[y_0,...,y_{m+n}]_h\) è un morfismo di anelli graduati; posti \(\displaystyle\varphi^{*}(x_i)=f_i\), si ha in coordinate che \(\displaystyle\varphi:P\in\mathbb{P}^{m+n}\to[f_0(P):...:f_n(P)]\in\mathbb{P}^n\).
Banalmente si sta supponendo che
\[V_{+}(f_0,...,f_n)=\{P\in\mathbb{P}^{m+n}:\forall i\in\{0,...,n\},\,f_i(P)=0\}=\emptyset,
\]
per il Nullstellensatz proiettivo di Hilbert \(\displaystyle\sqrt{(f_0,...,f_n)}=(y_0,...,y_{m+n})\equiv I_{+}\) oppure \(\displaystyle\sqrt{(f_0,...,f_n)}=(1)\).
Nella prima eventualità, \(\displaystyle(f_0,...,f_n)\) è un ideale primario[nota]Atiyah–MacDonald - An Introduction to Commutative Algebra, proposizione 4.2.[/nota], essendo i polinomi \(\displaystyle f_i\) omogenei dello stesso grado \(\displaystyle d\), e dovrebbe aversi che \(\displaystyle n\geq m+n\iff m\leq0\): ciò è assurdo perché \(\displaystyle m,n\geq1\).
Dovendo aversi, per esclusione, la seconda eventualità: i polinomi \(\displaystyle f_i\) hanno grado \(\displaystyle0\) e quindi \(\displaystyle\varphi\) è un morfismo costante; quindi \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) e \(\displaystyle\mathbb{P}^{m+n}\) non possono essere regolarmente isomorfi.
Note importanti di geometria algebrica.
[list=1]
[*:16d7ajk1] La precedente dimostrazione può essere generalizzata per dimostrare il seguente teorema:
[*:16d7ajk1] Si noti che in \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) e in \(\displaystyle\mathbb{P}^{m+n}\) vi è un sottoinsieme aperto regolarmente isomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{A}^{m+n}\); quindi le varietà di Segre formano un esempio di varietà algebrica proiettiva birazionalmente ma non regolarmente isomorfa a uno spazio proiettivo, su \(\displaystyle\mathbb{K}\). Poiché le varietà di Segre non sono curve, esempi di curve birazionalmente ma non regolarmente isomorfe alla retta proiettiva su \(\displaystyle\mathbb{K}\), sono le coniche irriducibili.[/*:m:16d7ajk1]
[*:16d7ajk1]In generale, se un avrietà algebrica \(\displaystyle X\) è birazionalmente isomorfa a \(\displaystyle\mathbb{P}^n\), essa si definisce varietà razionale.[/*:m:16d7ajk1][/list:o:16d7ajk1]
Nota importante di geometria complessa.
Essendo le varietà algebrica proiettive degli esempi molti importanti di manifolds compatte di Kähler, sussiste il seguente teorema di geometria complessa, analogo al precedente enunziato di sopra:
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Propongo un'altra dimostrazione, che non richiede la conoscenza di risultati profondi, tipo il già citato teorema di Bézout!
Siano \(\displaystyle\mathbb{K}\) un campo algebricamente chiuso[nota]Non c'è alcuna ipotesi sulla caratteristica di \(\displaystyle\mathbb{K}\)![/nota], \(\displaystyle\Sigma_{m,n}=\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n\) la varietà di Segre di tipo \(\displaystyle(m,n)\) su \(\displaystyle\mathbb{K}\); per costruzione eistono dei morfismi regolari canonici \(\displaystyle\pi_k:\Sigma_{m,n}\to\mathbb{P}^k\) non costanti, ove \(\displaystyle k\in\{m,n\}\).
Sia \(\displaystyle\varphi:\mathbb{P}^{m+n}\to\mathbb{P}^n\) un morfismo regolare, per definizione il suo pull-back \(\displaystyle\varphi^{*}:\mathbb{K}[x_0,...,x_n]_h\to\mathbb{K}[y_0,...,y_{m+n}]_h\) è un morfismo di anelli graduati; posti \(\displaystyle\varphi^{*}(x_i)=f_i\), si ha in coordinate che \(\displaystyle\varphi:P\in\mathbb{P}^{m+n}\to[f_0(P):...:f_n(P)]\in\mathbb{P}^n\).
Banalmente si sta supponendo che
\[V_{+}(f_0,...,f_n)=\{P\in\mathbb{P}^{m+n}:\forall i\in\{0,...,n\},\,f_i(P)=0\}=\emptyset,
\]
per il Nullstellensatz proiettivo di Hilbert \(\displaystyle\sqrt{(f_0,...,f_n)}=(y_0,...,y_{m+n})\equiv I_{+}\) oppure \(\displaystyle\sqrt{(f_0,...,f_n)}=(1)\).
Nella prima eventualità, \(\displaystyle(f_0,...,f_n)\) è un ideale primario[nota]Atiyah–MacDonald - An Introduction to Commutative Algebra, proposizione 4.2.[/nota], essendo i polinomi \(\displaystyle f_i\) omogenei dello stesso grado \(\displaystyle d\), e dovrebbe aversi che \(\displaystyle n\geq m+n\iff m\leq0\): ciò è assurdo perché \(\displaystyle m,n\geq1\).
Dovendo aversi, per esclusione, la seconda eventualità: i polinomi \(\displaystyle f_i\) hanno grado \(\displaystyle0\) e quindi \(\displaystyle\varphi\) è un morfismo costante; quindi \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) e \(\displaystyle\mathbb{P}^{m+n}\) non possono essere regolarmente isomorfi.
Note importanti di geometria algebrica.
[list=1]
[*:16d7ajk1] La precedente dimostrazione può essere generalizzata per dimostrare il seguente teorema:
siano \(\displaystyle X\) varietà algebrica su \(\displaystyle\mathbb{K}\) e \(\displaystyle\varphi:\mathbb{P}^n\to X\) un morfismo regolare. Se \(\displaystyle n>\dim_{Krull}X\geq1\) allora \(\displaystyle\varphi\) è una funzione costante.[/*:m:16d7ajk1]
[*:16d7ajk1] Si noti che in \(\displaystyle\Sigma_{m,n}\) e in \(\displaystyle\mathbb{P}^{m+n}\) vi è un sottoinsieme aperto regolarmente isomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{A}^{m+n}\); quindi le varietà di Segre formano un esempio di varietà algebrica proiettiva birazionalmente ma non regolarmente isomorfa a uno spazio proiettivo, su \(\displaystyle\mathbb{K}\). Poiché le varietà di Segre non sono curve, esempi di curve birazionalmente ma non regolarmente isomorfe alla retta proiettiva su \(\displaystyle\mathbb{K}\), sono le coniche irriducibili.[/*:m:16d7ajk1]
[*:16d7ajk1]In generale, se un avrietà algebrica \(\displaystyle X\) è birazionalmente isomorfa a \(\displaystyle\mathbb{P}^n\), essa si definisce varietà razionale.[/*:m:16d7ajk1][/list:o:16d7ajk1]
Nota importante di geometria complessa.
Essendo le varietà algebrica proiettive degli esempi molti importanti di manifolds compatte di Kähler, sussiste il seguente teorema di geometria complessa, analogo al precedente enunziato di sopra:
siano \(\displaystyle X\) una manifold compatta di Kähler, \(\displaystyle\varphi:\mathbb{P}^n\to X\) una mappa olomorfa. Se \(\displaystyle n>\dim X\geq1\) allora \(\displaystyle\varphi\) è una mappa costante.
La formula di Künneth (che tra l'altro è una maniera di dimostrare il teorema di Bézout[1]) rende tutto davvero ovvio; si può persino adattare la dimostrazione al caso in cui non vuoi dipendere dalla caratteristica del campo, usando gli anelli di Chow -che sono l'equivalente della coomologia singolare).
[1] Le curve \(C_1, C_2 \subseteq \mathbb P^2\) determinano canonicamente delle classi di coomologia \([C_1],[C_2] \in H^2(\mathbb P^2;\mathbb Z)\). Se si intersecano trasversalmente, la classe della loro intersezione \([C_1\cap C_2]\) corrisponde, praticamente per definizione di \(\smile\), al cup product \([C_1]\smile [C_2]\) (la classe \([C_1\cap C_2] = [C_1]\smile [C_2]\) sa in \(H^4(\mathbb P^2,\mathbb Z) = \mathbb Z\) per definizione del prodotto graduato \(\smile : H^p(X)\otimes H^q(X)\to H^{p+q}(X)\), e dato che \(H^4(\mathbb P^2,\mathbb Z) = \mathbb Z\), \([C_1]\smile [C_2]\) sta contando quanti punti stanno nell'intersezione geometrica \(C_1\cap C_2\)).
[1] Le curve \(C_1, C_2 \subseteq \mathbb P^2\) determinano canonicamente delle classi di coomologia \([C_1],[C_2] \in H^2(\mathbb P^2;\mathbb Z)\). Se si intersecano trasversalmente, la classe della loro intersezione \([C_1\cap C_2]\) corrisponde, praticamente per definizione di \(\smile\), al cup product \([C_1]\smile [C_2]\) (la classe \([C_1\cap C_2] = [C_1]\smile [C_2]\) sa in \(H^4(\mathbb P^2,\mathbb Z) = \mathbb Z\) per definizione del prodotto graduato \(\smile : H^p(X)\otimes H^q(X)\to H^{p+q}(X)\), e dato che \(H^4(\mathbb P^2,\mathbb Z) = \mathbb Z\), \([C_1]\smile [C_2]\) sta contando quanti punti stanno nell'intersezione geometrica \(C_1\cap C_2\)).
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