Composizione di iniettive
Hola! Vorrei dimostrare questo fatto: siano $A$ e $B$ due operatori lineari definite su $V$. Mostrare che se \(\displaystyle \ker A =\ker B= \{\mathbf{0}\} \) allora \(\displaystyle \ker(B\circ A)=\{\mathbf{0}\} \).
Poiché $A$ e $B$ hanno nucleo banale, sono iniettive; d'altro canto per la nota formula \(\displaystyle \dim V=\dim \Im A =\dim \Im B \), e siccome la dimensione del codominio coincide con quella del dominio, si ha che le applicazioni sono surgettive (in generale abbiamo quindi dimostrato che un operatore iniettivo è anche surgettivo). Di conseguenza $A$ e $B$ sono automorfismi (operatori invertibili) e quindi \(\displaystyle B\circ A \) risulta invertibile, e quindi anche iniettiva, cioè \(\displaystyle \ker(B\circ A)=\{\mathbf{0}\} \), poiché la composizione di funzioni invertibili restituisce una funzione invertibile.
Vorrei generalizzare quanto dimostrato ad applicazioni lineari che non siano necessariamente endomorfismi: ad esempio siano $A:VrarrW$ e $B:WrarrU$ due applicazioni con nucleo banale.
In questo caso non ho argomenti sulla surgettività e procedo in questo modo: siano \(\displaystyle \mathbf{q},\mathbf{p}\in V \) tali che \(\displaystyle \mathbf{q}\ne\mathbf{p} \): per l'iniettività \(\displaystyle A(\mathbf{q})\ne A(\mathbf{p}) \). Allora \(\displaystyle B\circ A(\mathbf{q})=B(A(\mathbf{q}))\ne B(A(\mathbf{p})) \) per l'iniettività di $B$. Quindi la composizione di iniettive è ancora iniettiva e ha nucleo banale.
Però mi chiedo: è possibile usare argomenti sulla dimensione degli spazi (sulla falsa riga di quanto fatto prima) per dimostrare la proposizione anche nel caso in cui si abbia a che fare con applicazioni lineari non surgettive?
Poiché $A$ e $B$ hanno nucleo banale, sono iniettive; d'altro canto per la nota formula \(\displaystyle \dim V=\dim \Im A =\dim \Im B \), e siccome la dimensione del codominio coincide con quella del dominio, si ha che le applicazioni sono surgettive (in generale abbiamo quindi dimostrato che un operatore iniettivo è anche surgettivo). Di conseguenza $A$ e $B$ sono automorfismi (operatori invertibili) e quindi \(\displaystyle B\circ A \) risulta invertibile, e quindi anche iniettiva, cioè \(\displaystyle \ker(B\circ A)=\{\mathbf{0}\} \), poiché la composizione di funzioni invertibili restituisce una funzione invertibile.
Vorrei generalizzare quanto dimostrato ad applicazioni lineari che non siano necessariamente endomorfismi: ad esempio siano $A:VrarrW$ e $B:WrarrU$ due applicazioni con nucleo banale.
In questo caso non ho argomenti sulla surgettività e procedo in questo modo: siano \(\displaystyle \mathbf{q},\mathbf{p}\in V \) tali che \(\displaystyle \mathbf{q}\ne\mathbf{p} \): per l'iniettività \(\displaystyle A(\mathbf{q})\ne A(\mathbf{p}) \). Allora \(\displaystyle B\circ A(\mathbf{q})=B(A(\mathbf{q}))\ne B(A(\mathbf{p})) \) per l'iniettività di $B$. Quindi la composizione di iniettive è ancora iniettiva e ha nucleo banale.
Però mi chiedo: è possibile usare argomenti sulla dimensione degli spazi (sulla falsa riga di quanto fatto prima) per dimostrare la proposizione anche nel caso in cui si abbia a che fare con applicazioni lineari non surgettive?
Risposte
Guarda che è semplicemente una conseguenza del fatto che la composizione di funzioni iniettive è iniettiva: una funzione $f$ è iniettiva se e solo se per ogni altra coppia di funzioni $g,h$ componibili con $f$ si ha $fg=fh\Rightarrow g=h$.
Allora, date $f,f'$ iniettive e componibili, e date $g,h$, si ha $f'fg=f'fh\Rightarrow fg=fh\Rightarrow g=h$.
Allora, date $f,f'$ iniettive e componibili, e date $g,h$, si ha $f'fg=f'fh\Rightarrow fg=fh\Rightarrow g=h$.
Ciao, capisco, solo che pensavo ci fosse un modo più "algebrico lineare" per così dire per dimostrarlo! Comunque grazie della risposta! 
Fat considera $L:V->W$ e $T:W->U$ entrambe iniettive
Ovvero $KerL={0_V}$ e $KerT={0_W}$
Consideriamo $TcircL:V->W->U$
Se $v inKer(TcircL)=> (TcircL)(v)=0_U=>T(L(v))=0_U=>L(v)inKer(T)=>L(v)=0_W=>v inKer(L)=>v=0_V$
Dove:
$T(L(v))=0_U => L(v)=0_W$ è data dalla banalità di $KerT$
$L(v)=0_W=>v=0_V$ è data dalla banalità di $kerL$
Bisogna pur sempre sottostare alle richieste dell’OP
Ovvero $KerL={0_V}$ e $KerT={0_W}$
Consideriamo $TcircL:V->W->U$
Se $v inKer(TcircL)=> (TcircL)(v)=0_U=>T(L(v))=0_U=>L(v)inKer(T)=>L(v)=0_W=>v inKer(L)=>v=0_V$
Dove:
$T(L(v))=0_U => L(v)=0_W$ è data dalla banalità di $KerT$
$L(v)=0_W=>v=0_V$ è data dalla banalità di $kerL$
"Lao_Dan":
Guarda che è semplicemente una conseguenza del fatto che la composizione di funzioni iniettive è iniettiva: una funzione $ f $ è iniettiva se e solo se per ogni altra coppia di funzioni $ g,h $ componibili con $ f $ si ha $ fg=fh\Rightarrow g=h $.
Allora, date $ f,f' $ iniettive e componibili, e date $ g,h $, si ha $ f'fg=f'fh\Rightarrow fg=fh\Rightarrow g=h $.
Bisogna pur sempre sottostare alle richieste dell’OP
Ottimo, cercavo proprio qualcosa del genere 
il cliente ha sempre ragione!
il cliente ha sempre ragione!
"Uomo Grasso":
Ciao, capisco, solo che pensavo ci fosse un modo più "algebrico lineare" per così dire per dimostrarlo! Comunque grazie della risposta!
Perché? L'altra dimostrazione funziona sempre, la tua solo in \(\bf Vect\).
Ciao, cosa intendi con \(\displaystyle \bf Vect \)?
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