Dipendenza e indipendenza lineare di vettori

[AnalisiZero]

Ciao,

Non ho chiara questa definizione di indipendenza lineare tra vettori:
L' indipendenza lineare di un insieme di vettori si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri.
Io conosco la definizione secondo cui i vettori si dicono linearmente indipendenti quando l'unica combinazione lineare che genera il vettore nullo è quella in cui i coefficienti dei vettori sono tutti nulli.
Come si possono collegare queste due definizioni?

Grazie.

[Cantor99]

Procedi per assurdo, "se esistesse un vettore $v_i$ di un sistema ${v_1,...,v_t}$ di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale $V$ tale che $v_i=a_1v_1+...+a_(i-1)v_(i-1)+a_(i+1)v_(i+1)+...+a_tv_t$ allora ...

[Magma1]

@Analisi: Forse ti sfugge il fatto che non si può dividere per $0in RR$

[AnalisiZero]

Tralasciamo lo spazio vettoriale perchè non è stato ancora spiegato a lezione.
Provo a fare un esempio.
Ho tre vettori: ${vecv_1,vecv_2,vecv_3}$
Supponiamo che siano linearmente indipendenti, quindi si ha $avecv_1+bvecv_2+cvecv_3=vec0 leftrightarrow a,b,c=0$
Poi come avete detto provo a ragionare per assurdo, quindi suppongo che, ad esempio, $vecv_1$ si possa scrivere come:
$vecv_1=lambda_1vecv_2+lambda_2vecv_3$.
Quindi dovrei dimostrare che se tutto ciò fosse vero, i tre vettori non sarebbero linearmente indipendenti e giungere a un assurdo.
Riscrivo la somma come:
$alambda_1vecv_2+alambda_2vecv_3+bvecv_2+cvecv_3=vec0 leftrightarrow (alambda_1+b)vecv_2+(alambda_2+c)vecv_3=vec0$
Quindi mi basterebbe dimostrare che $vecv_2$ e $vecv_3$ sono linearmente dipendenti per giungere all'assurdo.
Però non so come continuare
Almeno il ragionamento è giusto?

Grazie.

[Magma1]

"AnalisiZero":Tralasciamo lo spazio vettoriale perchè non è stato ancora spiegato a lezione.

"AnalisiZero":
Non ho chiara questa definizione di indipendenza lineare tra vettori:
L'indipendenza lineare di un insieme di vettori si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri.

Più che una definizione, è una conseguenza:
se hai dei vettori l. i. significa che

$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=0 hArr alpha_1=...=alpha_n=0$

ed essendo i coefficienti tutti nulli, nessuno può essere espresso come C. L. dei rimanenti.

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Invece se hai dei vettori l. d. significa che $EE alpha_1, ..., alpha_n in RR$ non tutti nulli tale che

$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=0$

a meno di riordinare, supponiamo che $alpha_1ne0$, allora si può porre

$alpha_1v_1=-(alpha_2v_2+...+alpha_nv_n)$

$hArr v_1=-alpha_2/(alpha_1)v_2-...-alpha_n/(alpha_1)v_n$

D'altro canto, se uno dei vettori è C. L. significa che, sempre a meno di riordinamento, $v_1$ è C. L. dei rimanenti vettori; ossia

$EE alpha_2,...,alpha_n in RR$, tale che $v_1=alpha_2v_2+...+alpha_nv_n$

$hArr v_1-alpha_2v_2-...-alpha_nv_n=0$

questa è una C. L. nulla però, essendo $v_1=1*v_1$, i coefficienti sono non tutti nulli; quindi i vettori non possono essere l. i. [nota]L'indipendenza lineare impone che i coefficienti di una C. L. nulla siano tutti nulli[/nota]

Pertanto si è appena dimostrato che

$v_1,...,v_n$ sono l. d. $hArr$ uno di essi è C. L. dei rimanenti

"AnalisiZero":
Ho tre vettori: ${vecv_1,vecv_2,vecv_3}$
Supponiamo che siano linearmente indipendenti, quindi si ha $avecv_1+bvecv_2+cvecv_3=vec0 leftrightarrow a,b,c=0$

L'ultima relazione potrebbe essere ambigua; per togliere ogni dubbio

$ (a,b,c)=(0,0,0) hArr qquad a=0, qquad b=0, qquad c=0$

[AnalisiZero]

Chiarissimo, quindi era più facile di come facevo io . Grazie.