Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera,
ho il seguente esercizio:
Dato il sottospazio $U$ di $ mathbb{R^4}$, definito
$U={(x,y,z,t) in mathbb{R^4}:2x-y+t=z-t=0}$
determinare la dimensione e una base ortonormale di $U^{\prime}$.
$U^{\prime}$ complemento ortogonale.
Procedo nel seguente modo:
1) mi calcolo prima la base del sottospazio $U$ la quale $B={(0,1,1,1),(1,2,0,0)}$
2) estraggo una base $S$ ortogonale da $B$ con Gram-Schmidt, cioè:
"scusate per la mancanza dei grassetti" ...
Buongiorno a tutti
mi chiamo Andrea ed ho un dubbio sulla formula sottostante, che ho usato per linearizzare due dati.
Questa formula dato un valore di ingresso x ritorna un valore y scalato linearmente:
$ (y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0)+y0 $
dove y0=10 e y1=2'000 mentre x0=0 e x1=32'767
mentre invece se mi rifaccio alla formula
$ y=m*x+q $
mi viene una domanda, forse ora faccio una figuraccia, il contributo di q nella formula precedente non è presente giusto?
andrebbe in aggiunta alla formula in somma:
...
ragazzi ho questa applicazione lineare:
\( Fh : ax3 + bx2 + cx + d ∈R[x]3 → (2d,ch,3b,ah + 4b) ∈R^4 \)
la matrice associata è:
$ ( ( 0 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , h , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 0 ),( h , 4 , 0 , 0 ) ) $ ?
scusatemi, sono all'inizio e allo studio per i primi esami di algebra 1 e geometria, ma potreste aiutarmi con la spiegazione per la risoluzione dei seguenti esercizi?
"Scrivere un programma che determina se una relazione definita su un insieme A di n elementi è riflessiva. Scrivere una relazione sottoforma di matrice"
"Utilizzando la notazione dei sottoinsiemi di un dato universo U={a1, a2, …..a4} sottoforma di n-ple di 0 e 1 si scriva un programma che trovi unione, intersezione, ...
Ho un altro problema: voglio dimostrare che "per ogni $A\in K^(n,n)$ sono equivalenti
$ (i) rg(A)=n$
$ (ii) det(A)!=0$
$ (iii)$ le righe di $A$ sono linearmente indipendenti"
Dimostrazione
$(i) =>(ii)$ la matrice $A$ è equivalente ad una matrice $T$ ridotta. Se $rg(A)=n$, $T$ ha $n$ pivot e $0!=det(T)=det(A)$;
$(ii) =>(iii)$ le proprietà dei determinanti mi dicono che se le righe sono l.d ...
salve a tutti. in una prova che sto svolgendo mi viene fatta questa domanda:
"Dato un sistema Ax = B che sia incompatibile dire se ognuna delle seguenti affermazioni è vera, motivando la risposta:
(b) Il sistema Ax = 0 ha infinite soluzioni"
io so che il sistema ammette infinite soluzioni se il rango di A è minore di n, con n ordine della matrice, ma non capisco come fare ad applicare questa cosa a questo caso. oppure c'è un altro metodo legato a un altro teorema che ora mi sfugge?
Grazie ...
Nel testo di geometria 2 di Sernesi a pagg 111-112 nella dimeostrazione del teorema fondamentale dell algebra usa la notazione r(C) e r(P(w)). Chi è r??
Ho bisogno di un chiarimento su una dimostrazione presente su libro di topologia Marco Manetti. Nel capitolo 15 paragrafo 6 non ho capito perché la funzione polinomiale da C in C è aperta e chiusa.
Buongiorno a tutti, sono un po' in crisi con questo esercizio:
"Sapendo che V ha dimensione 4 di base u,v,w,t e z ∈ V calcolare la dimensione dei seguenti sottospazi di V:
(a) U = L(u,v,u + v)
(b) W = L(u,u + v,u + w,u + t,u + z)
(c) R = L(u,z)"
non so proprio da dove iniziare, voi come ragionereste?
Ho il seguente esercizio:
Se la matrice A= $((1,3),(2,0),(0,4))$ rappresenta un omomorfismo da $RR^2$ a $RR^3$ nelle basi $B=[(1,1);(3,1)]$ e $B'=[(1,0,3);(0,0,2);(0,1,1)]$ , qual è l'immagine della generica coppia $(x,y)$ $in$ $RR^2$ tramite tale applicazione f?
Allora, io ho ragionato così:
prendo gli elementi della matrice A e mi moltiplico per i e vettori della base $B'$ in modo da ricavare i due vettori immagine di $f(1,1)$ e ...
salve a tutti. in un esercizio di cui non ho la soluzione mi viene chiesto di classificare la seguente conica e di definirne la forma canonica: $ 4x^2-8xy+4y^2-9=0 $
calcolando il determinante della matrice associata mi viene nullo anche ad occhio in quanto la matrice è:
$ ( ( 4 , -4 , 0 ),( -4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 9 ) ) $ che presenta la prima e la seconda riga proporzionale e quindi il determinante è nullo. ottengo così una conica degenere, dal rango noto che è semplicemente degenere. Fin qui è giusto?
inoltre, la forma ...
Buongiorno a tutti, ho un nuovo quesito di algebra lineare.
Sia T : R^3 $\to$ R^3 la trasformazione lineare definita da:
T($\vec e_1$) = $\vec e_2$ + $\vec e_3$; T($\vec e_2$) = $\vec e_1$; T($\vec e_3$) = $\vec e_1$ + 2$\vec e_2$ + 2$\vec e_3$
dove ($\vec e_1$ , $\vec e_2$ , $\vec e_3$) rappresenta la base canonica in R^3.
Rispondere se VERO o FALSO:
1) un vettore che appartiene al ker(T) è: (2t ...
Ciao a tutti.
Volevo chiedere aiuto riguardo a un argomento che abbiamo trattato nel corso di algebra lineare e geometria (studio fisica).
Riguardo ai punti impropri in generale e in particolare delle coniche.
A quanto ho capito sono punti in cui succede qualcosa all'infinito tipo che due rette parallele vi ci si incontrino all'infinito.
Ma mi rimangono dubbi.
Non cabisco perchè in una parabola il punto improprio è sull'asse delle parabola.
Se qualcuno mi può dare qualche ...
Come da titolo sto avendo difficoltà con questo esercizio:
Sia A= $ {: ( 2 , 2 ),( 2 , 2 ) :} $
Determinare matrice di rotazione tale che tP*A*P= $ {: ( lambda , 0 ),( 0 , lambda ) :} $ dove tP=trasposta di P.
Calcolo il polinomo caratteristico, ottengo:
(lambda)^2-2(lambda). Ottengo lambda(1)=2; lambda(2)=0.
A questo punto eseguo i seguenti passaggi:
V(lambda(1))= $ {: ( 2 , 2 ),( 2 , 2 ) :} $ - $ {: ( 2 , 0 ),( 0 , 2 ) :} $ = $ {: ( 0 , 2 ),( 2 , 0 ) :} $ Ora, facendo due conti, ottengo il vettore [0;0] ma penso sia sbagliato. (In caso lo fosse, ...
salve, sto svolgendo delle prove di esame e mi sono imbattuta in una domanda articolata del tipo:
"Se possibile fornire i seguenti esempi, altrimenti motivarne la non esistenza:
(a) Una base di R4 costituita da 3 vettori;
(b) Una base di R4 costituita da 4 vettori;
(c) Una base di R4 costituita da 5 vettori;
(d) Un sistema di generatori di R4 costituita da 3 vettori;
(e) Un sistema di generatori di R4 costituita da 4 vettori;
(f) Un sistema di generatori di R4 costituita da 5 vettori; ...
Buonasera,
devo determinare gli autovalori di questa matrice di ordine 3
\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)
Per determinare gli autovalori ho scritto la matrice A - \( \lambda \)*Id e ne ho cercato il determinante con Laplace applicato alla prima colonna.
Mi risultano gli autovalori \( \lambda \) = 0 e \( \lambda \) = 1, dove vado a trovare l'autovettore dell'autovalore 1 = (0,1,1) , ma poi per l'autovalore 0 cosa dovrei fare? se provo a ...
Buonasera,
Ho il seguente sottospazio
\(\displaystyle W=X \in \mathbb{R^{2,2}}: AX=XA; A=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \)
mi chiede di determinare la dimensione e una base del suo complemento ortogonale.
La prima cosa che faccio mi determino il \(\displaystyle [W]= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \ , \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)
Ora per determinare il complemento ortogonale $W'$, devo procedere nel seguente modo ?
so che ...
Ciao
Questo mi ha dato l'idea di pensare se esistono due sottoinsiemi chiusi $A$ e $B$ di $RR$ (topologia usuale) tali che l'insieme prodotto $AB$ non è chiuso.
Qui $AB = {ab : a in A, b in B}$.
Ci sto pensando ma non sembra ovvio. Avete idee?
Ciao,sto studiando quest'omomorfismo: $T:R^3->R^4$.$T(x,y,z)=(x+y,x-y+z,x-y,x+y-z)$.Se invece di considerare le basi canoniche per costruire la matrice associata a T considerassi due basi non canoniche,ovviamente, la matrice associata a T cambierebbe.Se ad esempio considero la base di $R^3$ composta dai vettori ${(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)}$ e la base di $R^4$ formata da ${(5,0,0,0),(0,3,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,7)}$, la matrice diventa: $((1/5,1/5,3/5),(3/2,-1/3,-1/3),(1/2,-1/2,-1/2),(0,1/7,1/7))$ e quindi $T(x,y,z)=(1/5x+1/5y+3/5z,3/2x-1/3y-1/3z,1/2x-1/2y-1/2z,1/7y+1/7z)$.Il vettore immagine di un generico ...
ragazzi chiedo scusa ma ho un dubbio grande quanto una casa, nonostante la banalità della questione.
ma se ho una matrice $ ( ( 1 ),( 1 ),( 3-h ),( -1 ) ) $ come ne calcolo il rango al variare di h?
io di primo impatto direi:
- $ h!=3 $ il rango è 4
- $ h=3 $ il rango è 3
ma poi mi viene il dubbio che la prima, la seconda e la terza riga sono uguali o comunque proporzionali. cosa cambia quindi nel calcolo del rango? come devo comportarmi?
aiut sto impazzendo su una scemenza.
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