Esercizio su basi e sottospazi

[sgabryx]

Buongiorno a tutti, sono un po' in crisi con questo esercizio:
"Sapendo che V ha dimensione 4 di base u,v,w,t e z ∈ V calcolare la dimensione dei seguenti sottospazi di V:
(a) U = L(u,v,u + v)
(b) W = L(u,u + v,u + w,u + t,u + z)
(c) R = L(u,z)"

non so proprio da dove iniziare, voi come ragionereste?

[killing_buddha]

Ragioneremmo iniziando a dire che $u,v,w,t$ è una base, e chiaramente allora $z$ è linearmente dipendente da quei 4 vettori.

[sgabryx]

Giustissimo, presa dal panico non avevo notato questa cosa.
quindi si può dire che R ha dimensione 1, giusto?
il mio dubbio principale però è, la somma di due vettori indipendenti non ha alcuna relazione con i singoli vettori che possa annullarmi il determinante?
con il prodotto dico che sono proporzionali e via, ma con la somma non esiste nulla del genere?

[killing_buddha]

quindi si può dire che R ha dimensione 1, giusto?

No

[sgabryx]

perché no?
se z appartiene a V ma la sua base di dimensione 4 è (u,v,w,t) allora z non è espresso come combinazione lineare di questi vettori e quindi anche di u? quindi sono dipendenti tra loro?

[killing_buddha]

Perché in $R$, come lo hai definito sopra, ci sono solo $u$ e $z$, non gli altri vettori da cui $z$ dipende.

[sgabryx]

quindi a cosa mi serve sapere che z è dipendente dagli altri?

[killing_buddha]

A dire che a volte $R$ ha dimensione 1; per esempio quando?

[sgabryx]

Quando z è proporzionale u o quando z è nullo?