Vettore del nucleo di una trasformazione lineare

[JacopoFrig]

Buongiorno a tutti, ho un nuovo quesito di algebra lineare.

Sia T : R^3 $\to$ R^3 la trasformazione lineare definita da:
T($\vec e_1$) = $\vec e_2$ + $\vec e_3$; T($\vec e_2$) = $\vec e_1$; T($\vec e_3$) = $\vec e_1$ + 2$\vec e_2$ + 2$\vec e_3$
dove ($\vec e_1$ , $\vec e_2$ , $\vec e_3$) rappresenta la base canonica in R^3.
Rispondere se VERO o FALSO:
1) un vettore che appartiene al ker(T) è: (2t , t , -t)

La risposta è VERO, però risolvendo il sistema lineare omogeneo Ax=0 per trovare i vettori del nucleo ottengo (0 , t , -t).

Procedimento:
La matrice (incompleta) A = $((0,1,1),(1,0,0),(1,2,2))$, quella completa = $((0,1,1,0),(1,0,0,0),(1,2,2,0))$.
Riduco con Gauss e ottengo $((1,2,2,0),(0,1,1,0),(0,0,0,0))$ da cui ottengo il sistema $\{(x + 2y + 2z = 0),(y+z=0):}$ e il vettore appartenente al ker(T) = (0 , t , -t).

Dove sbaglio? Ho saltato qualche passaggio?

grazie,

Jacopo

[Magma1]

Data

$T: qquad RR^3->RR^3$ definita ponendo

$T(e_1)=e_2+e_3$

$T(e_2)=e_1$

$T(e_3)=e_1+2e_2+2e_3$

la cui matrice rappresentativa è

$A=((0,1,1),(1,0,2),(1,0,2))$

Per saper se $t((2),(1),(-1)) in Ker(T)$ basta[nota]Perché è sufficiente calcolarlo per un solo valore ($t=1$) e non $AA t in RR$? [/nota] fare il seguente prodotto riga per colonna

$ ((0,1,1),(1,0,2),(1,0,2))((2),(1),(-1)) $

e osservare se sia o meno uguale a $0 in RR$.

[sgabryx]

l'errore è all'inizio dell'impostazione dell'esercizio. Quando scrivi la matrice incompleta i vettori li devi mettere come colonna, non come riga. Quindi la tua matrice A è:
$ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 2 ),( 1 , 0 , 2 ) ) $ e da qui può svolgere le considerazioni che hai fatto in precedenza, le quali a livello di calcolo sono tutte giuste.
in realtà ci sono ben pochi calcoli se noti, basta spostare un po' le righe tenendo bene in considerazione i pivot.

[JacopoFrig]

Grazie mille per le risposte, ma perché devo mettere i vettori in colonna e non in riga? Di solito non si mette tutto riga per riga?

[sgabryx]

il motivo è legato al fatto che la dimensione dell'immagine è uguale al rango della matrice associata all'applicazione lineare. Nella dimostrazione compare il sottospazio delle colonne, legato a sua volta al modo in cui viene definita la matrice associata, per questo si pone in colonna e non in riga

[Magma1]

Convenzione; però se metti le componenti dei vettori in riga devi moltiplicare a sinistra di $A$:

$(2,1,-1) ((0,1,1),(1,0,0),(1,2,2))$

Scomodo, vero?

P.S.:
con questo

"JacopoFrig":Di solito non si mette tutto riga per riga?

credo tu ti riferisca al caso di uno sottospazio o endomorfismo definito tramite un sistema di equazioni, tipo:

${ ( ax+by=d ),( ex+fy=g ):} hArr ((a,b),(e,f))((x),(y))=((d),(g))$

[JacopoFrig]

Perfetto, capito tutto grazie.

P.S. si con quel di solito mi riferivo alla risoluzione di un sistema lineare con le matrici