Conica e forma canonica
salve a tutti. in un esercizio di cui non ho la soluzione mi viene chiesto di classificare la seguente conica e di definirne la forma canonica: $ 4x^2-8xy+4y^2-9=0 $
calcolando il determinante della matrice associata mi viene nullo anche ad occhio in quanto la matrice è:
$ ( ( 4 , -4 , 0 ),( -4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 9 ) ) $ che presenta la prima e la seconda riga proporzionale e quindi il determinante è nullo. ottengo così una conica degenere, dal rango noto che è semplicemente degenere. Fin qui è giusto?
inoltre, la forma canonica in questo caso è la definizione delle due rette in cui degenera la conica?
grazie per l'attenzione!
calcolando il determinante della matrice associata mi viene nullo anche ad occhio in quanto la matrice è:
$ ( ( 4 , -4 , 0 ),( -4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 9 ) ) $ che presenta la prima e la seconda riga proporzionale e quindi il determinante è nullo. ottengo così una conica degenere, dal rango noto che è semplicemente degenere. Fin qui è giusto?
inoltre, la forma canonica in questo caso è la definizione delle due rette in cui degenera la conica?
grazie per l'attenzione!
Risposte
Data la conica
allora
$mathcalC : qquad 4x^2-8xy+4y^2-9=0$
allora
$r(mathcalC)=r ( ( 4 , -4 , 0 ),( -4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 9 ) ) =2 rArr \text{ semplicemente degenere}$
$r((4,-4),(-4,4))=1 rArr mathcalC \text{ è una parabola}$
$r((4,-4),(-4,4))=1 rArr mathcalC \text{ è una parabola}$
Scusami. Ma la distinzione tra parabola, ellisse o iperbole non va fatta solo quando la conica è non degenere?
In questo caso è degenere, quindi non si fa la differenza solo tra semplicemente o doppiamente?
In questo caso è degenere, quindi non si fa la differenza solo tra semplicemente o doppiamente?
Hai ragione, se $mathcalC \text{ è degenere e } r((4,-4),(-4,4))=1$ si tratta di due rette parallele distinte: "parabola degenere" 
@Magma:
Non sono rette coincidenti!
@sgabryx:
Anche senza fare conti strani, una semplice scomposizione di polinomi (roba da prima liceo) mostra che:
\[
\begin{split}
4x^2 - 8 xy + 4y^2 - 9 = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad (2x-2y)^2 - 9 = 0\\
&\Leftrightarrow \quad (2x-2y+3)(2x-2y-3)=0
\end{split}
\]
sicché la tua conica è fatta dall'unione delle due rette parallele di equazioni $2x-2y+-3=0$.
Se fai i conti con le coordinate proiettive dovrebbe tornare: infatti (prova!) dovresti trovare un unico punto improprio doppio.
"Magma":
Hai ragione, se $mathcalC \text{ è degenere e } r((4,-4),(-4,4))=1$ si tratta di due rette coincidenti: "parabola degenere"
Non sono rette coincidenti!
@sgabryx:
Anche senza fare conti strani, una semplice scomposizione di polinomi (roba da prima liceo) mostra che:
\[
\begin{split}
4x^2 - 8 xy + 4y^2 - 9 = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad (2x-2y)^2 - 9 = 0\\
&\Leftrightarrow \quad (2x-2y+3)(2x-2y-3)=0
\end{split}
\]
sicché la tua conica è fatta dall'unione delle due rette parallele di equazioni $2x-2y+-3=0$.
Se fai i conti con le coordinate proiettive dovrebbe tornare: infatti (prova!) dovresti trovare un unico punto improprio doppio.
Si infatti mi trovo con queste due rette da te scritte gugo82, chiedevo solo conferma se fosse quella la forma canonica. Per quanto riguarda i punti ora provo, inizio a fare un po' di pratica
Sì, hai ragione; mi si sono incrociati gli occhi controllando la tabella. 
@Magma: Ah, perché, hai una tabella?
Tipo? #Escila
(Ste cose le ho sempre fatte ad occhio...)
Tipo? #Escila
(Ste cose le ho sempre fatte ad occhio...)
Sì, non amo gli esercizi computazionali e nemmeno quelli di classificazione 
@gugo82 forse ci sono anche nei punti doppi ed impropri, e devo essere onesta con me stessa la differenza in realtà è abbastanza grossa.
i punti impropri sono la direzione delle rette parallele che nel piano proiettivo si incontrano proprio in quel punto, anche per questo a volte detto punto all'infinito.
mentre per quanto riguarda i punti doppi questi sono gli eventuali punti di intersezione tra le rette che formano una conica.
se è semplicemente degenere vi è un solo punto doppio dato dall'intersezione delle due rette mentre se è doppiamente degenere ogni punto è un punto doppio.
in questo esercizio ad esempio il punto doppio lo trovo risolvendo il sistema $ { ( 2x-2y-3=0 ),( 2x-2y+3=0 ):} $
il punto improprio invece dovrebbe essere il punto del tipo $(2,-2,0)=(1,-1,0)$ ?
i punti impropri sono la direzione delle rette parallele che nel piano proiettivo si incontrano proprio in quel punto, anche per questo a volte detto punto all'infinito.
mentre per quanto riguarda i punti doppi questi sono gli eventuali punti di intersezione tra le rette che formano una conica.
se è semplicemente degenere vi è un solo punto doppio dato dall'intersezione delle due rette mentre se è doppiamente degenere ogni punto è un punto doppio.
in questo esercizio ad esempio il punto doppio lo trovo risolvendo il sistema $ { ( 2x-2y-3=0 ),( 2x-2y+3=0 ):} $
il punto improprio invece dovrebbe essere il punto del tipo $(2,-2,0)=(1,-1,0)$ ?
I punti impropri si trovano mettendo a sistema l'equazione proiettiva della conica coll'equazione della retta impropria.
I punti doppi, invece, sono le soluzioni diverse da quella nulla del sistema omogeneo associato alla matrice della conica.
I punti doppi, invece, sono le soluzioni diverse da quella nulla del sistema omogeneo associato alla matrice della conica.
ancor meglio. perfetto allora, prendo nota.
grazie infinite, ancora una volta!
grazie infinite, ancora una volta!
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