Matrice associata un'applicazione lineare
ragazzi ho questa applicazione lineare:
\( Fh : ax3 + bx2 + cx + d ∈R[x]3 → (2d,ch,3b,ah + 4b) ∈R^4 \)
la matrice associata è:
$ ( ( 0 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , h , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 0 ),( h , 4 , 0 , 0 ) ) $ ?
\( Fh : ax3 + bx2 + cx + d ∈R[x]3 → (2d,ch,3b,ah + 4b) ∈R^4 \)
la matrice associata è:
$ ( ( 0 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , h , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 0 ),( h , 4 , 0 , 0 ) ) $ ?
Risposte
Data l'applicazione lineare
Prendi come base di dominio e codominio quelle canoniche
La matrice associata ha per colonna i vettori
ovvero le componenti delle immagini dei vettori $p_i in mathcalP$ rispetto alla base $mathcalE$.
$F_h : qquad RR[x]_(<=3)-> RR^4$ definita ponendo
$d+cx +bx^2+ax^3|-> ((2d),(ch),(3b),(ah+4b))$
$d+cx +bx^2+ax^3|-> ((2d),(ch),(3b),(ah+4b))$
Prendi come base di dominio e codominio quelle canoniche
$mathcalP={1,x,x^2,x^3}, qquad mathcalE={e_1,e_2,e_3,e_4}$
La matrice associata ha per colonna i vettori
$[F_h(p_i)]_(mathcalE) qquad, p_i in mathcalP qquad i=1,2,3,4$
ovvero le componenti delle immagini dei vettori $p_i in mathcalP$ rispetto alla base $mathcalE$.
andiamo per gradi, comincio con lo scrivere i vari pi:
$ p1= (0,0,0,d)$
$p2=(0,0,c,0)$
$ p3=(0,b,0,0)$
$ p4=(a,0,0,0)$
è corretto?
$ p1= (0,0,0,d)$
$p2=(0,0,c,0)$
$ p3=(0,b,0,0)$
$ p4=(a,0,0,0)$
è corretto?
Allora considerando l'applicazione
e la base
La legge del polinomio è espressa da $P[X]_(<=3)=d+cx +bx^2+ax^3$, quindi
continua tu
$F_h : qquad RR[x]_(<=3)->RR^4$
$ d+cx +bx^2+ax^3|-> ((2d),(ch),(3b),(ah+4b)) $
$ d+cx +bx^2+ax^3|-> ((2d),(ch),(3b),(ah+4b)) $
e la base
$ mathcalP={1,x,x^2,x^3}$
La legge del polinomio è espressa da $P[X]_(<=3)=d+cx +bx^2+ax^3$, quindi
$[P[X]_(<=3)=1 hArr { ( d=1 ),( c=b=a=0 ):} ] rArr F_h(1)=((2),(0),(0),(0))$
$[P[X]_(<=3)=x hArr { (c=1 ),( d=b=a=0 ):} ] rArr F_h(x)=((0),(h),(0),(0))$
$[P[X]_(<=3)=x hArr { (c=1 ),( d=b=a=0 ):} ] rArr F_h(x)=((0),(h),(0),(0))$
continua tu
il resto verrebbe:
$ P(x^2)={ ( b=1 ),( d=c=a=0 ):}rArr [Fh(P(x^2))]( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 0 ) ) $
$P(x^3)={ ( a=1 ),( d=c=b=0 ):}rArr [Fh(P(x^3))]( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( h ) ) $
e la matrice che cerco ha i vari Fh come colonne corretto? del tipo:
$ ( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , h , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , h ) ) $
(ho dubbio solo per quanto riguarda $P(x^3)$)...
$ P(x^2)={ ( b=1 ),( d=c=a=0 ):}rArr [Fh(P(x^2))]( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 0 ) ) $
$P(x^3)={ ( a=1 ),( d=c=b=0 ):}rArr [Fh(P(x^3))]( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( h ) ) $
e la matrice che cerco ha i vari Fh come colonne corretto? del tipo:
$ ( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , h , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , h ) ) $
(ho dubbio solo per quanto riguarda $P(x^3)$)...
"sgabryx":
il resto verrebbe:
$ P(x^2)={ ( b=1 ),( d=c=a=0 ):}rArr [Fh(P(x^2))]( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 0 ) ) $
$F_h(x^2)=((0),(0),(3),(4))$
ok! molto più chiaro ora.
finalmente inizio a fare chiarezza, ho un po' di difficoltà con questo argomento non mi entra in testa. invece nel caso in cui avessi:
$ f : (a,b,c) ∈R^3 → ax^4+(a+b)x^3+(a+b+c)x^2 ∈R[x]4 $
il discorso è analogo?
finalmente inizio a fare chiarezza, ho un po' di difficoltà con questo argomento non mi entra in testa. invece nel caso in cui avessi:
$ f : (a,b,c) ∈R^3 → ax^4+(a+b)x^3+(a+b+c)x^2 ∈R[x]4 $
il discorso è analogo?
Data
beh... prova a scrivere una bozza di soluzione
$f: RR^3 -> RR[X]_(<=4]$
$((a),(b),(c)) |-> (a+b+c)x^2+(a+b)x^3+ax^4$
$((a),(b),(c)) |-> (a+b+c)x^2+(a+b)x^3+ax^4$
beh... prova a scrivere una bozza di soluzione
di primo impatto farei così. Definendo rispetto la base canonica di $ R[x4] $ avrei:
$ P(x4)={ ( a=1 ),( a+b=0 ),( a+b+c=0 ):} rarr{(a=1),(b=-1), (c=0):} rarr ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $
però mi sorge un dubbio, ovvero che forse dovrei partire da una base di $ R3$, con analoghi procedimenti.
$ P(x4)={ ( a=1 ),( a+b=0 ),( a+b+c=0 ):} rarr{(a=1),(b=-1), (c=0):} rarr ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $
però mi sorge un dubbio, ovvero che forse dovrei partire da una base di $ R3$, con analoghi procedimenti.
@sgabryx: Ma la teoria l’hai studiata? Non mi spiego come tu possa brancolare così nel buio...
Si l'ho studiata. Ho fatto anche molti esercizi su questo argomento ma non riesco a comprenderlo, forse prima di ora non ho mai trovato spiegazione adeguata.
"sgabryx":
di primo impatto farei così. Definendo rispetto la base canonica di $ R[x4] $ avrei:
$ P(x4)={ ( a=1 ),( a+b=0 ),( a+b+c=0 ):} rarr{(a=1),(b=-1), (c=0):} rarr ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $
però mi sorge un dubbio, ovvero che forse dovrei partire da una base di $ R3$, con analoghi procedimenti.
gugo82 non ha proprio tortoLa scrittura
$f : qquad RR^3 -> RR[X]_(<=4)$
ti dice che l'applicazione $f$ prende un elemento $v in RR^3$ e lo mando nello spazio dei polinomio di grado al più $4$. Perché parti dal codominio?
sono partita da lì perché sono andata per similitudine del discorso fatto in precedenza cercando di comprendere il concetto, infatti ho espresso subito il dubbio che stessi sbagliando a considerare, se non avessi studiato avrei dato per certo quello che stavo facendo.
quindi dovrei fare:
$ P(1,0,0) rarr x^2+x^3+x^4 rarr(1,1,1,0,0)$
$P(0,1,0) rarr x^2+x^3 rarr (0,1,1,0,0)$
$P(0,0,1) rarr x^2 rarr (0,0,1,0,0) $
sono queste le colonne della matrice che cerco?
quindi dovrei fare:
$ P(1,0,0) rarr x^2+x^3+x^4 rarr(1,1,1,0,0)$
$P(0,1,0) rarr x^2+x^3 rarr (0,1,1,0,0)$
$P(0,0,1) rarr x^2 rarr (0,0,1,0,0) $
sono queste le colonne della matrice che cerco?
"sgabryx":
sono partita da lì perché sono andata per similitudine del discorso fatto in precedenza cercando di comprendere il concetto
Ma la similitudine non è possibile perché gli dominio e codominio sono invertiti: è ciò che ci ha lasciato perplessi e fatto pensare che lo studio sia stato poco proficuo.
"sgabryx":
quindi dovrei fare:
$ P(1,0,0) rarr x^2+x^3+x^4 rarr(1,1,1,0,0)$
$P(0,1,0) rarr x^2+x^3 rarr (0,1,1,0,0)$
$P(0,0,1) rarr x^a rarr (0,0,1,0,0) $
sono queste le colonne della matrice che cerco?
Nope!
$ f: RR^3 -> RR[X]_(<=4] $
$ ((a),(b),(c)) |-> (a+b+c)x^2+(a+b)x^3+ax^4 $
$ ((a),(b),(c)) |-> (a+b+c)x^2+(a+b)x^3+ax^4 $
con le basi
$mathcalE={e_1,e_2,e_3}, qquad mathcalP={1,x,x^2,x^3,x^4}$
Per il primo vettore
$[((a),(b),(c))=((1),(0),(0)) hArr { ( a=1 ),( b=c=0 ):}] rArr f(e_1)=x^2+x^3+x^4$
le cui componenti rispetto a $mathcalP$ sono
$[x^2+x^3+x^4]_(mathcalP)=((0),(0),(1),(1),(1))$
Ora puoi proseguire per analogia
P.S.: le basi sono insiemi ordinati: cioè ${a,b} ne {b,a}$
ah ok perché la canonica del polinomio parte da 1 e termina con $x^qualcosa$, ho confuso l'ordine.
quindi alla fine la matrice dovrebbe essere:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ ?
quindi alla fine la matrice dovrebbe essere:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ ?
prima di esultare, ne posto un'ultima che ho fatto da sola per vedere se è corretta.
l'applicazione questa volta è: $ f : ax3 + bx2 + cx + d ∈R[x]3 → (b−3c + d;2a−3b + d;2a + b−c;0;0) ∈R5 $
ho svolto così:
$ P(1) rarr{ ( d=1 ),( a=b=c=0 ):} rarr ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$P(x) rarr { ( c=1 ),( a=b=d=0 ):} rarr ( ( -3 ),( 0 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$P(x^2) rarr{ ( b=1 ),( a=d=c=0 ):} rarr ( ( 1 ),( -3 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$P(x^3) rarr { ( a=1 ),( d=b=c=0 ):} rarr ( ( 0),( 2 ),(2 ),( 0 ),( 0 ) ) $
quindi la matrice cercata è:
$ ( ( 1 , -3 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , -3 , 2 ),( 0 , -1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
corretta?
l'applicazione questa volta è: $ f : ax3 + bx2 + cx + d ∈R[x]3 → (b−3c + d;2a−3b + d;2a + b−c;0;0) ∈R5 $
ho svolto così:
$ P(1) rarr{ ( d=1 ),( a=b=c=0 ):} rarr ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$P(x) rarr { ( c=1 ),( a=b=d=0 ):} rarr ( ( -3 ),( 0 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$P(x^2) rarr{ ( b=1 ),( a=d=c=0 ):} rarr ( ( 1 ),( -3 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$P(x^3) rarr { ( a=1 ),( d=b=c=0 ):} rarr ( ( 0),( 2 ),(2 ),( 0 ),( 0 ) ) $
quindi la matrice cercata è:
$ ( ( 1 , -3 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , -3 , 2 ),( 0 , -1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
corretta?
Allora l'applicazione lineare è
e i vettori da te trovati
B.N.: non ti ho segnalato che ho corretto uno dei primi post, in cui scrissi "$P(1) hArr …$", con "$P[X]_(<=\text {grado massimo})=\text{ qualcosa} hArr$"; nella fretta avevo fatto un pastrocchio con la notazione.
$f: qquad RR[X]_(<=3)-> RR^5$
$d+cx+bx^2+ax^3 |-> ((b-3c+d),(2a-3b+d),(2a+b-c),(0),(0))$
$d+cx+bx^2+ax^3 |-> ((b-3c+d),(2a-3b+d),(2a+b-c),(0),(0))$
e i vettori da te trovati
$ ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( -3 ),( 0 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 1 ),( -3 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0),( 2 ),(2 ),( 0 ),( 0 ) ) in Im(f) $
B.N.: non ti ho segnalato che ho corretto uno dei primi post, in cui scrissi "$P(1) hArr …$", con "$P[X]_(<=\text {grado massimo})=\text{ qualcosa} hArr$"; nella fretta avevo fatto un pastrocchio con la notazione.
allora vado a rivedere la notazione per scrivere bene 
per quanto riguarda la matrice quindi posso dire che è corretta?
per quanto riguarda la matrice quindi posso dire che è corretta?
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