Determinare dimensione e base ortonormale del complemento ortogonale.
Buonasera,
ho il seguente esercizio:
Dato il sottospazio $U$ di $ mathbb{R^4}$, definito
determinare la dimensione e una base ortonormale di $U^{\prime}$.
$U^{\prime}$ complemento ortogonale.
Procedo nel seguente modo:
1) mi calcolo prima la base del sottospazio $U$ la quale $B={(0,1,1,1),(1,2,0,0)}$
2) estraggo una base $S$ ortogonale da $B$ con Gram-Schmidt, cioè:
"scusate per la mancanza dei grassetti"
$u_1=v_1$ e $u_2=v_2- ((\sigma(v_2,u_1))/ (\sigma(u_1,u_1)))u_1$
dove $v_1=(0,1,1,1),v_2=(1,2,0,0)$
allora
$u_1=v_1=(0,1,1,1)$
$u_2=v_2- ((\sigma(v_2,u_1))/ (\sigma(u_1,u_1)))u_1=(1,2,0,0)-(2/3)(0,1,1,1)=(1,4/3,-2/3,-2/3)$
3) normalizzo $S$ ed ottengo $S^{\prime}$, ovvero
$(1/|u_1|)u_1$, cioè $|u_1|=sqrt{\sigma(u_1,u_1)}=sqrt{3}$, allora $(1/|u_1|)u_1=(0,1/sqrt{3},1/sqrt{3},1/sqrt{3})$
$(1/|u_2|)u_2$, cioè $|u_2|=sqrt{\sigma(u_2,u_2)}=sqrt{33/9}=sqrt{33}/3$,allora $(1/|u_2|)u_2=3/sqrt{33}(1,4/3,-2/3,-2/3)=(3/sqrt{33},4/sqrt{33},-2/sqrt{33},-2/sqrt{33})$.
Fin qui è corretto ?
ho il seguente esercizio:
Dato il sottospazio $U$ di $ mathbb{R^4}$, definito
$U={(x,y,z,t) in mathbb{R^4}:2x-y+t=z-t=0}$
determinare la dimensione e una base ortonormale di $U^{\prime}$.
$U^{\prime}$ complemento ortogonale.
Procedo nel seguente modo:
1) mi calcolo prima la base del sottospazio $U$ la quale $B={(0,1,1,1),(1,2,0,0)}$
2) estraggo una base $S$ ortogonale da $B$ con Gram-Schmidt, cioè:
"scusate per la mancanza dei grassetti"
$u_1=v_1$ e $u_2=v_2- ((\sigma(v_2,u_1))/ (\sigma(u_1,u_1)))u_1$
dove $v_1=(0,1,1,1),v_2=(1,2,0,0)$
allora
$u_1=v_1=(0,1,1,1)$
$u_2=v_2- ((\sigma(v_2,u_1))/ (\sigma(u_1,u_1)))u_1=(1,2,0,0)-(2/3)(0,1,1,1)=(1,4/3,-2/3,-2/3)$
3) normalizzo $S$ ed ottengo $S^{\prime}$, ovvero
$(1/|u_1|)u_1$, cioè $|u_1|=sqrt{\sigma(u_1,u_1)}=sqrt{3}$, allora $(1/|u_1|)u_1=(0,1/sqrt{3},1/sqrt{3},1/sqrt{3})$
$(1/|u_2|)u_2$, cioè $|u_2|=sqrt{\sigma(u_2,u_2)}=sqrt{33/9}=sqrt{33}/3$,allora $(1/|u_2|)u_2=3/sqrt{33}(1,4/3,-2/3,-2/3)=(3/sqrt{33},4/sqrt{33},-2/sqrt{33},-2/sqrt{33})$.
Fin qui è corretto ?
Risposte
suppongo che il prodotto scalare sia quello standard su $RR^n$ ovvero quello entrata per entrata.
Per prima cosa quella non mi sembra corretta come base.
il vettore $(x,y,z,t)=(0,1,1,1)$ non soddisfa entrambe le due equazioni in quanto
in quanto se non erro le relazioni sono date dal sistema
Per prima cosa ti invito a notare che una forma definita positiva è non isotropa per definizione e pertanto per ogni sottospazio $UleqRR^4$ si avrà che $RR^4=UoplusU^(_|_)wedge UcapU^(_|_)={vec(0)}$
ossia $RR^4$ è in somma diretta di $U$ e del suo complemento ortogonale, da cui per Grassmann
il tuo spazio ha chiaramente dimensione $2$ essendo $U={(x,y,2x-y,2x-y) in RR^4: x,y in RR}$
quindi dovrà essere necessariamente $dimU^(_|_)=2$
quindi
questo preliminarmente ti consente di vedere se stai facendo tutto corretto.
successivamente per 'dimensioni basse' l'algoritmo ti porta via un po' di tempo.
In fondo devi solo calcolare l'insieme dei vettori tali per cui
pertanto $U^(_|_)={(-2z-2t,z+t,z,t) in RR^4:z,t in RR}$
si può verificare facilmente come i due spazi siano effettivamente ortogonali considerando
Chiaramente allo stesso risultato ci arriveresti con l'algoritmo.
Non dovrei aver fatto errori di calcolo
Per prima cosa quella non mi sembra corretta come base.
il vettore $(x,y,z,t)=(0,1,1,1)$ non soddisfa entrambe le due equazioni in quanto
$2*0-1-1=-2ne0$
in quanto se non erro le relazioni sono date dal sistema
se $(x,y,z,t) inU=> {(2x-y-t=0),(z-t=0):} => {(t=2x-y),(z=2x-y):}$
quindi $v in U <=> v=(x,y,2x-y,2x-y)$
quindi $v in U <=> v=(x,y,2x-y,2x-y)$
Per prima cosa ti invito a notare che una forma definita positiva è non isotropa per definizione e pertanto per ogni sottospazio $UleqRR^4$ si avrà che $RR^4=UoplusU^(_|_)wedge UcapU^(_|_)={vec(0)}$
ossia $RR^4$ è in somma diretta di $U$ e del suo complemento ortogonale, da cui per Grassmann
$4=dimRR^4=dimU+dimU^(_|_)$
il tuo spazio ha chiaramente dimensione $2$ essendo $U={(x,y,2x-y,2x-y) in RR^4: x,y in RR}$
quindi dovrà essere necessariamente $dimU^(_|_)=2$
quindi
$B_(U)={(1,0,2,2),(0,1,-1,-1)}$
questo preliminarmente ti consente di vedere se stai facendo tutto corretto.
successivamente per 'dimensioni basse' l'algoritmo ti porta via un po' di tempo.
In fondo devi solo calcolare l'insieme dei vettori tali per cui
${((x,y,z,t)*(1,0,2,2)=0),((x,y,z,t)*(0,1,-1,-1)=0):} => {(x+2z+2t=0),(y-z-t=0):}$
${(x=-2z-2t),(y=z+t):}$
${(x=-2z-2t),(y=z+t):}$
pertanto $U^(_|_)={(-2z-2t,z+t,z,t) in RR^4:z,t in RR}$
si può verificare facilmente come i due spazi siano effettivamente ortogonali considerando
[size=85]$(-2z-2t,z+t,z,t)*(x,y,2x-y,2x-y)=-2zx-2tx+zy+ty+2xz-zy+2xt-ty=0$[/size]
Chiaramente allo stesso risultato ci arriveresti con l'algoritmo.
Non dovrei aver fatto errori di calcolo
Hey, ho fatto un errore di riporto!! Scusami 
Precisamente era nella prima equazione che definisce il sottospazio, ovvero
Prima $2x-y-t$
Dopo $2x-y+t$ "versione corretta"
Di nuovo
Precisamente era nella prima equazione che definisce il sottospazio, ovvero
Prima $2x-y-t$
Dopo $2x-y+t$ "versione corretta"
Di nuovo
il procedimento è giusto, sui conti non ho fiducia in me stesso
il procedimento il tuo ?
no parlo del tuo.
In fondo stai soltanto trovando una base ortonormale dello spazio quindi a meno di errori di calcolo il procedimento è corretto.
In fondo stai soltanto trovando una base ortonormale dello spazio quindi a meno di errori di calcolo il procedimento è corretto.
Buongiorno,
ora devo completarla scegliendo due vettori che non appartengono al sistema $S'$, cioè prendo $e_1, e_2$
per il vettore $e_1$ ottengo:
$e_1-((\sigma(e_1,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1-((\sigma(e_1,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2$
dove $((\sigma(e_1,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1=0$, invece per $((\sigma(e_1,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2=((3)/(sqrt(33)))u_2=((3)/(sqrt(33))) cdot [(3)/(sqrt(33)),(4)/(sqrt(33)),(-2)/(sqrt(33)),(-2)/(sqrt(33))]=((9)/(33),(12)/(33),(-6)/(33),(-6)/(33))$
allora $e_1-((\sigma(e_1,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2=(1,0,0,0)-((9)/(33),(12)/(33),(-6)/(33),(-6)/(33))=((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33))$
essendo che il testo chiede che la base del complemento ortogonale deve essere ortonormale, si ha:
posto per semplicità $a_1=((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33))$
$(a_1)/(|a_1|)$, dove $|a_1|=sqrt(\sigma(a_1,a_1))=sqrt(((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33)) cdot ((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33)))=sqrt((792)/(1089))=(sqrt(792))/(33)$
allora $(a_1)/(|a_1|)=((33)/(sqrt(792)))a_1=((33)/(sqrt(792)))((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33))=((24)/(sqrt(792)),(-12)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792)))$.
Invece per il secondo posso scegliere $e_2$. In modo analogo "sempre se sono corretti i passaggi e salvo errori di calcolo" ho:
$e_2-((\sigma(e_2,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1-((\sigma(e_2,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2-((\sigma(e_2,a_1))/(\sigma(a_1,a_1)))a_1$
non eseguo i calcoli di quest'ultima relazione, ma sono prettamente simili ed ottengo:
$e_2-((\sigma(e_2,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1-((\sigma(e_2,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2-((\sigma(e_2,a_1))/(\sigma(a_1,a_1)))a_1=((-24)/(33),(-23)/(33),(5)/(33),(5)/(33))$
posto per semplicità $a_2=((-24)/(33),(-23)/(33),(5)/(33),(5)/(33))$
sempre per il testo dell'esercizio devo
$(a_2)/(|a_2|)=((33)/(sqrt(1155)))a_2=((33)/(sqrt(1155))) ((-24)/(33),(-23)/(33),(5)/(33),(5)/(33))=((-24)/(sqrt(1155)),(-23)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)))$
Posto $x_1=((24)/(sqrt(792)),(-12)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792))),x_2=((-24)/(sqrt(1155)),(-23)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)))$
Quindi infine ho come base $T$ ortonormale del complemento ortonormale, il seguente sistema
$T={x_1,x_2}$
Ciao
ora devo completarla scegliendo due vettori che non appartengono al sistema $S'$, cioè prendo $e_1, e_2$
per il vettore $e_1$ ottengo:
$e_1-((\sigma(e_1,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1-((\sigma(e_1,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2$
dove $((\sigma(e_1,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1=0$, invece per $((\sigma(e_1,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2=((3)/(sqrt(33)))u_2=((3)/(sqrt(33))) cdot [(3)/(sqrt(33)),(4)/(sqrt(33)),(-2)/(sqrt(33)),(-2)/(sqrt(33))]=((9)/(33),(12)/(33),(-6)/(33),(-6)/(33))$
allora $e_1-((\sigma(e_1,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2=(1,0,0,0)-((9)/(33),(12)/(33),(-6)/(33),(-6)/(33))=((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33))$
essendo che il testo chiede che la base del complemento ortogonale deve essere ortonormale, si ha:
posto per semplicità $a_1=((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33))$
$(a_1)/(|a_1|)$, dove $|a_1|=sqrt(\sigma(a_1,a_1))=sqrt(((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33)) cdot ((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33)))=sqrt((792)/(1089))=(sqrt(792))/(33)$
allora $(a_1)/(|a_1|)=((33)/(sqrt(792)))a_1=((33)/(sqrt(792)))((24)/(33),(-12)/(33),(6)/(33),(6)/(33))=((24)/(sqrt(792)),(-12)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792)))$.
Invece per il secondo posso scegliere $e_2$. In modo analogo "sempre se sono corretti i passaggi e salvo errori di calcolo" ho:
$e_2-((\sigma(e_2,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1-((\sigma(e_2,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2-((\sigma(e_2,a_1))/(\sigma(a_1,a_1)))a_1$
non eseguo i calcoli di quest'ultima relazione, ma sono prettamente simili ed ottengo:
$e_2-((\sigma(e_2,u_1))/(\sigma(u_1,u_1)))u_1-((\sigma(e_2,u_2))/(\sigma(u_2,u_2)))u_2-((\sigma(e_2,a_1))/(\sigma(a_1,a_1)))a_1=((-24)/(33),(-23)/(33),(5)/(33),(5)/(33))$
posto per semplicità $a_2=((-24)/(33),(-23)/(33),(5)/(33),(5)/(33))$
sempre per il testo dell'esercizio devo
$(a_2)/(|a_2|)=((33)/(sqrt(1155)))a_2=((33)/(sqrt(1155))) ((-24)/(33),(-23)/(33),(5)/(33),(5)/(33))=((-24)/(sqrt(1155)),(-23)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)))$
Posto $x_1=((24)/(sqrt(792)),(-12)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792)),(6)/(sqrt(792))),x_2=((-24)/(sqrt(1155)),(-23)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)),(5)/(sqrt(1155)))$
Quindi infine ho come base $T$ ortonormale del complemento ortonormale, il seguente sistema
$T={x_1,x_2}$
Ciao
Madonna che casino... posso chiederti perché hai utilizzato L’algoritmo? Sai risolverlo solo così?
Perché esiste una via molto più veloce e che porta sicuramente una probabilità più bassa di fare errori di calcolo.
Il procedimento mi sembra corretto, ma più che l’esercizio vorrei capire se ti sia chiaro il significato di tale algoritmo e sopratutto cosa rappresenti la scrittura $v-((v*w)/(w*w))w$
Perché esiste una via molto più veloce e che porta sicuramente una probabilità più bassa di fare errori di calcolo.
Il procedimento mi sembra corretto, ma più che l’esercizio vorrei capire se ti sia chiaro il significato di tale algoritmo e sopratutto cosa rappresenti la scrittura $v-((v*w)/(w*w))w$
E' un po' laborioso il calcolo 
Comunque si conosco solo questo anche perché sul libro mi mostra solo questo metodo (almeno io cosi ho visto).
L'algoritmo di Gram-Schmidt serve per determinare una base ortonormale, partendo da un sistema di $t$ vettori linearmente indipendente. Invece la scrittura che hai postato, sarebbe l'ortogonolizzazione di $v$ su $w$.
Comunque si conosco solo questo anche perché sul libro mi mostra solo questo metodo (almeno io cosi ho visto).
L'algoritmo di Gram-Schmidt serve per determinare una base ortonormale, partendo da un sistema di $t$ vettori linearmente indipendente. Invece la scrittura che hai postato, sarebbe l'ortogonolizzazione di $v$ su $w$.
Allora per quanto riguarda un altro metodo puoi considerare questo.
dato uno spazio euclideo $V$ su $RR$ e un sottospazio $W$ il complemento ortogonale sarà $W^(_|_)$
fissata una base $B={w_1,...,w_m}$ di $W$ puoi considerare questa affermazione
quindi significa che $v$ è determinato dall'insieme dei vettori tali che
chiaramente una volta determinato $W^(_|_)$ puoi subito dire chi sarà la sua dimensione, che poi sarà
poi se vuoi l'algoritmo lo puoi applicare solo alla base di $W^(_|_)$ infatti avrai soltanto due vettori nella base di $W^(_|_)$ visto che avrà dimensione $2$.
chiaramente se $B={u,v}$ è una sua base allora $B'={u,v-(u*v)/(u*u)u}$ sarà una base ortogonale e poi basta soltanto normalizzarla.
Quindi ti riduci soltanto a normalizzare la base di $W^(_|_)$ e non ti riduci a fare troppi calcoli.
In quanto $v,u$ sono vettori di $W^(_|_)$ e quindi una generica combinazione lineare sta in $W^(_|_)$ pertanto anche il vettore
inoltre sono due vettori ortogonali che in un prodotto scalare ci garantisce che siano linearmente indipendenti e pertanto abbiamo fatto solo un'operazione per 'ortogonalizzare' la base di $W^(_|_)$
il significato dell'algoritmo è dovuto in sostanza all'interpretazione della proiezione ortogonale in quanto posto $a_(v)(w)=(v*w)/(v*v)$ il coefficiente di proiezione di $w$ lungo la direzione di $v$
avremo che il vettore $w-a_(v)(w)v$ è un vettore ortogonale a $v$
quindi in sostanza l'algoritmo direbbe questo
prendi una base $B={u_1,...,u_n}$ di uno spazio euclideo $V$
1. consideri lo spazio generato da $u_1$ e il vettore ortogonale alla proiezione su $$ e lo chiami $u_2$
2. consideri lo spazio generato $$ e il vettore ortogonale alla proiezione su esso e lo chiami $u_3$ e così via
graficamente sarebbe questo:
prendi un vettore ortogonale alla retta $$ e lo chiami $u_2$
prendi un vettore ortogonale al piano $$ e lo chiami $u_3$
prendi un vettore ortogonale allo spazio $$ e lo chiami $u_4$
e così via.
dato uno spazio euclideo $V$ su $RR$ e un sottospazio $W$ il complemento ortogonale sarà $W^(_|_)$
fissata una base $B={w_1,...,w_m}$ di $W$ puoi considerare questa affermazione
$v in W^(_|_) <=> v _|_ w_k,forallk=1,...,m$
quindi significa che $v$ è determinato dall'insieme dei vettori tali che
${(v*w_1=0),(v*w_2=0),( ... ),( v*w_m=0):}$
chiaramente una volta determinato $W^(_|_)$ puoi subito dire chi sarà la sua dimensione, che poi sarà
$dimW^(_|_)=dimV-dimW$
poi se vuoi l'algoritmo lo puoi applicare solo alla base di $W^(_|_)$ infatti avrai soltanto due vettori nella base di $W^(_|_)$ visto che avrà dimensione $2$.
chiaramente se $B={u,v}$ è una sua base allora $B'={u,v-(u*v)/(u*u)u}$ sarà una base ortogonale e poi basta soltanto normalizzarla.
Quindi ti riduci soltanto a normalizzare la base di $W^(_|_)$ e non ti riduci a fare troppi calcoli.
In quanto $v,u$ sono vettori di $W^(_|_)$ e quindi una generica combinazione lineare sta in $W^(_|_)$ pertanto anche il vettore
$v-(u*v)/(u*u)u in W^(_|_)$
inoltre sono due vettori ortogonali che in un prodotto scalare ci garantisce che siano linearmente indipendenti e pertanto abbiamo fatto solo un'operazione per 'ortogonalizzare' la base di $W^(_|_)$
il significato dell'algoritmo è dovuto in sostanza all'interpretazione della proiezione ortogonale in quanto posto $a_(v)(w)=(v*w)/(v*v)$ il coefficiente di proiezione di $w$ lungo la direzione di $v$
avremo che il vettore $w-a_(v)(w)v$ è un vettore ortogonale a $v$
quindi in sostanza l'algoritmo direbbe questo
prendi una base $B={u_1,...,u_n}$ di uno spazio euclideo $V$
1. consideri lo spazio generato da $u_1$ e il vettore ortogonale alla proiezione su $
2. consideri lo spazio generato $
graficamente sarebbe questo:
prendi un vettore ortogonale alla retta $
prendi un vettore ortogonale al piano $
prendi un vettore ortogonale allo spazio $
e così via.
Perfetto sembra tutto chiaro !!
Se ci sono problemi (ma penso di no) ti scrivo
Ciao
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