Esercizio su omeomorfismi
Buongiorno. Ho trovato un esercizio che chiede di mostrare se i seguenti spazi topologici sono omeomorfi
$ X=[ 0,1] × [0,1 ] $ e $ Y=( 0,1 )× ( 0,1 ) $ .
1)Premetto che a trovare una funzione bicontinua e biunivoca spesso mi mette in difficoltà, quindi, volevo chiedere: è formalmente giusto mettere a confronto le proprietà dei due insiemi? Ad esempio nel caso di $ X $ e $ Y $ espressi sopra, posso dire che $ X $ è chiuso e limitato in $ RR^ 2$ , quindi è compatto, mentre $ Y $ , non essendo chiuso non è compatto, quindi non possono essere omeomorfi?
2) Se così fosse allora anche gli insiemi $ X=[ 0,1 ] × [ 0,1 ] $ e $ Y =[ 0,1 ) × [ 0,1 ) $ non sono omeomorfi, ma ho trovato (se non ho ragionato male) la funzione
$( x, y)\rightarrow(2*x/ 3, 2*y/3) $ la cui inversa è $ (u, v) \ rightarrow (3*u/2, 3*v/2) $ . Quindi, quale strada è meglio seguire?
$ X=[ 0,1] × [0,1 ] $ e $ Y=( 0,1 )× ( 0,1 ) $ .
1)Premetto che a trovare una funzione bicontinua e biunivoca spesso mi mette in difficoltà, quindi, volevo chiedere: è formalmente giusto mettere a confronto le proprietà dei due insiemi? Ad esempio nel caso di $ X $ e $ Y $ espressi sopra, posso dire che $ X $ è chiuso e limitato in $ RR^ 2$ , quindi è compatto, mentre $ Y $ , non essendo chiuso non è compatto, quindi non possono essere omeomorfi?
2) Se così fosse allora anche gli insiemi $ X=[ 0,1 ] × [ 0,1 ] $ e $ Y =[ 0,1 ) × [ 0,1 ) $ non sono omeomorfi, ma ho trovato (se non ho ragionato male) la funzione
$( x, y)\rightarrow(2*x/ 3, 2*y/3) $ la cui inversa è $ (u, v) \ rightarrow (3*u/2, 3*v/2) $ . Quindi, quale strada è meglio seguire?
Risposte
1) Corretto.
2) Quella funzione non è suriettiva, in particolare \( (1,1) \) non è mai raggiunto!
2) Quella funzione non è suriettiva, in particolare \( (1,1) \) non è mai raggiunto!
Grazie per la risposta. Quindi potrei scrivere anche per 2) che $X$ e $Y$ non sono omeomorfi perchè il primo è compatto, mentre il secondo non lo è perchè non è chiuso superiormente.
Semplicemente \( Y \) non è chiuso ( \( (1,1) \) è di accumulazione per una successione a valori in \( Y \) ma non appartiene a \( Y \) ).
Non so se la definizione di chiuso superiormente si applichi a un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \)...
Non so se la definizione di chiuso superiormente si applichi a un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \)...
Va bene, grazie, ho capito
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