Esercizio sottospazi vettoriali di polinomi

[luciagua]

Salve,
ho bisogno di avere un aiuto su questo esercizio.
nello spazio vettoriale R[x] dei polinomi a coefficienti reali siano:
U={p(x) appartenente a R[x] | p(-x)=p(x)}
V={p(x) appartenente a R[x] | p(-x)=-p(x)}
verificare se U e V sono dei sottospazi vettoriali.

Grazie 1000
Saluti

[killing_buddha]

Mi sembra molto facile, ce la puoi fare.

[luciagua]

Grazie per la fiducia....
Se mi potresti aiutare te ne sarei grata.

[cooper1]

ci sono due strade:
1. usi un risultato e concludi in due parole
2. applichi la definizione (che è anche più istruttivo). cosa dice la definizione e come partiresti?

[luciagua]

Per verificare che è un sottospazio vettoriale devo verificare:
1) vettore nullo appartiene all'insieme
2) chiusura rispetto alla somma
3) chiusura rispetto al prodotto per una costante reale

1) Ora il vettore nullo credo che in questo caso sia il polinomio nullo, cioè quello con tutti coefficienti = 0. Giusto??? Quindi sia in U che in V esiste.
2) credo che per entrambi gli insiemi se sommo due polinomi in esso conenuti ottengo sempre un polinomio in esso contenuti
3) credo che per entrambi gli insiemi se moltiplico un polinomio per una costante reale ottengo sempre un polnomio in esso contenuti

Quindi ritengo che U e V siano entrambi sottospazi vettoriali. Giusto???

Inoltre un polinomio appartenente a U oltre ad avere tutte potenze pari secondo me può avere il temine noto, mentre per essere dispari i polinomio non può avere il termine noto oltre a dover avere tutte potenze dispari. Non so se questo può servire nell'analisi.

Ecco come avrei risposto io al quesito.
Saluti

[cooper1]

corretto

[killing_buddha]

Visto che si sta giocando a rilanciare, mi sembra che ci si possa divertire con un paio di domande di algebra lineare applicate a questo caso specifico: è evidente che i sottospazi delle funzioni pari e dispari sono in somma diretta (perlomeno quando i polinomi sono a coefficienti in un campo di caratteristica \(\ne 2\)), e che questo implica che ogni polinomio si scriva come somma \(p_0 + p_1\) di una parte pari e di una parte dispari

- Dato \(p\), chi sono \(p_0,p_1\) in termini dei coefficienti \((a_0,a_1,...,a_n)\) di \(p(X) = \sum a_i X^i\)?

- E' evidente che il prodotto di polinomi pari è pari, così come è pari il prodotto di polinomi dispari; questo rende l'anello dei polinomi \(\mathbb R[X]\) una superalgebra commutativa?

- sia per un polinomio pari che per un polinomio dispari, \(\alpha\) ne è una radice se e solo se lo è \(-\alpha\); prevedibilmente questo dà una prescrizione molto forte sulla forma delle radici di \(p\) quando esso è pari o dispari. Dalle formule di Viète poi, sappiamo che i coefficienti di un polinomio \(p(X)\) sono legati alle funzioni simmetriche elementari valutate nelle radici di \(p\)... espandere questo discorso e capire dove va a parare.

- Un polinomio \(p(X_1,...,X_n)\) si dice pari se \(p(-X_1,...,-X_n) = p(X_1,...,X_n)\), e dispari se \(p(-X_1,...,-X_n) = -p(X_1,...,X_n)\). E' ancora vero che i polinomi pari e dispari in \(n\) variabili formano sottospazi in somma diretta di \(\mathbb R[X_1,...,X_n]\)? Stessa domanda in questo contesto: data una matrice \(A \in M_n(\mathbb R)\) tale che \(\det A \ne 0\), dico che un polinomio \(p(\underline X)\) è \(A\)-pari se vale \(p(A\underline X) = p(\underline X)\), e \(A\)-dispari se \(p(AX)=-p(X)\)[nota]Denoto con \(\underline X \mapsto A\underline X\) la trasformazione che manda \((X_1,...,X_n)\) in \((\sum_k a_{1k}X_k,..., \sum_k a_{nk}X_k)\).[/nota]