Esercizio su un sottospazio vettoriale di R^3

[simo.fildi]

Salve ragazzi ho provato a risolvere questo esercizio, ma ad un certo punto non riesco piu ad andare avanti.

"Si consideri il sottospazio vettoriale di R^3
W={(a,b,c) di R^3 : 5a+2b+7c=0}
-Determinare le equazioni cartesiane, parametriche e una base di W perpendicolare
-dato il vettore v=(0,1,3) trovare la sua proiezione ortogonale su W perpendicolare."
io ho provato cosi:

$ { ( a=-2/5s-7/5t ),( b=s ),( c=t ):} $
$ ( ( a ),( b ),( c ) )= t( ( -7/5),( 0 ),( 1 ) )+s( ( -2/5),( 1 ),( 0 ) ) $
$ W= span{( ( -7/5),( 0 ),( 1 ) )+( ( -2/5),( 1 ),( 0 ) )} $ dove il primo è W1 e il secondo W2
$ W^_|_ = {v=(a,b,c): =0; =0} $

le equazioni cartesiane sono:
$ { ( -7a+5c=0 ),( -2a+5b=0):} $

mentre quelle parametriche sono:
$ { ( a=k ),( b=2/5k ),( c=7/5k ):} -> u=k( (1), (2/5) , (7/5) ) $

$ W^_|_ =span{((5),(2),(7)) } $ con $ Wp=((5),(2),(7)) $ e Wp è una base di W perpendicolare

fino a qui è corretto? sapete aiutarmi con il secondo punto?

[cooper1]

la proiezione di un vettore v su un sottospazio W generico, data una base ortonormale $u_k$ di W, è definito come:
$P_W=(v xx u_1)u_1 + ... + (v xx u_k)u_k$

[simo.fildi]

"cooper":la proiezione di un vettore v su un sottospazio W generico, data una base ortonormale $u_k$ di W, è definito come:
$P_W=(v xx u_1)u_1 + ... + (v xx u_k)u_k$

ok grazie, ma la prima parte è corretta?

[cooper1]

si, scusa non avevo specificato. mi sembra tutto corretto