Dimensione nucleo e immagine di $T(p(t))$

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Salve ragazzi!
Vi propongo una parte di esercizio che in teoria ho svolto ma di cui ho alcuni dubbi, la traccia è la seguente:
Considera l’applicazione lineare $T : RR_(3)[t] -> RR_2$ tale che $T(p(t)) = ((p(1)), (p'(2)))$
(i) Calcola la dimensione del nucleo e dell’immagine di T;
Io ho preso una base di $RR_(3)[t]: {1, t, t^2}$
Ho esplicitato $p(t)={1, t, t^3}$ e $p'(t)={1, 2t}$ per ricavare quindi
$p(1)={1, 1, 1}$ e $p'(2)={1, 4, 0}$
A questo punto la matrice associata all'applicazione lineare dovrebbe essere $T(p(t))=((1, 1), (1, 4), (1, 0))$
da cui ottengo che la dimensione dell'immagine è pari a 2, come il rango della matrice, mentre quella del kernel è data da
$dim(KerT) = n-dim(ImT) = 3-2 = 1$
Giusto? Nel caso non lo fosse qualcuno potrebbe correggere le str****** che ho scritto?

[anonymous_0b37e9]

Veramente, la rappresentazione matriciale di $T$ non è necessaria. Infatti:

1. $[P(t)=c_3t^3+c_2t^2+c_1t+c_0] rarr [(dP)/(dt)(t)=3c_3t^2+2c_2t+c_1]$

2. $[P(1)=0] ^^ [(dP)/(dt)(2)=0] rarr$

$rarr \{(c_3+c_2+c_1+c_0=0),(12c_3+4c_2+c_1=0):} rarr$

$rarr [(1,1),(12,4)][(c_3),(c_2)]=[(-c_1-c_0),(-c_1)] rarr$

$rarr [(c_3),(c_2)]=[(-1/2,1/8),(3/2,-1/8)][(-c_1-c_0),(-c_1)] rarr$

$rarr [(c_3),(c_2)]=[(3/8c_1+1/2c_0),(-11/8c_1-3/2c_0)] rarr$

$rarr dim[Ker(T)]=2 rarr$

$rarr dim[Im(T)]=4-dim[Ker(T)]=2$

Volendo procedere mediante la rappresentazione matriciale:

$T(t^3)=[(1),(12)] ^^ T(t^2)=[(1),(4)] ^^ T(t)=[(1),(1)] ^^ T(1)=[(1),(0)] rarr$

$rarr M_T=[(1,1,1,1),(12,4,1,0)]$

Ad ogni modo, oltre ad aver invertito le righe con le colonne nella rappresentazione matriciale, non si comprende quale spazio di polinomi tu abbia considerato.

[CarfRip]

Sì perdonami, volendo procedere per rappresentazione matriciale avevo intuito come fare ma poi ho sbagliato la scelta della base (presa su $RR_(2)[t]$) e distrattamente invertito le righe con le colonne...
Grazie mille per la dritta @anonymous_0b37e9