Esercizio (esame) su trasformazione lineare tra due span

[samu982]

Ciao ragazzi, la prossima settimana ho l' esame di algebra e geometria con un professore diciamo stravagante... Spero possiate aiutarmi con questo esercizio di un vecchio esame, grazie in anticipo.

Siano $ V = {(1, 0, 2),(2, 1, 0)} ⊆RR^3 $ e $ W = {(1, 2),(3, 2)} ⊆ RR^2 $
Scrivere la matrice canonicamente associata a una trasformazione lineare g : $RR^3 $ $rarr$ $RR^2$
tale che $ g(Span(V )) = Span(W) $
Io ho pensato di fare cosi' :

$ g(Span(V ))=g(h(1;0;2)+k(2;1;0))=g((h;0;2h))+g((2k;k;0))=(h;2h)+(3k;2k) $

da qui non so più che fare, tentando disperatamente farei cosi':
siccome:
$ g(Span(V ))=g((h+2k;k;2h))=(3k+h;2h+2k) $

${ ( x=h+2k ),( y=k ),( z=2h ):}$

Quindi:
$ g((x;y;z))=(x+y;z+2y) $


infine:

matrice associata $rarr$ $ A=( ( 1, 1 , 0 ),( 0 , 2 , 1 ) ) $

è sicuramente sbagliato esistono tantissime combinazioni di x;y;z per ottenere le basi di W , spero possiate aiutarmi, e spero che il post rispetti il regolamento, visto che è il mio primo.
Grazie a tutti.

[samu982]

Nessuno riesce ad aiutarmi??

[Cantor99]

Provo a rispondere

Uso $<<>>$ invece di span.
Prima cosa osserva che $<>=\RR^2$
Ora, sostanzialmente dovrebbe star chiedendo di costruire un'applicazione tale che $g(<>)=\RR^2$. Osservato che $g(<>)=<>$, hai $\RR^2=g(<>)=<>=<>$. Per avere questa uguaglianza, ti basta porre ad esempio $g(1,0,2)=(1,2)$ e $g(2,1,0)=(3,2)$.
Per ultimare la costruzione di $g$ puoi imporre $g(0,0,1)=(0,1)$. Con queste posizioni trovi poi la matrice associata

Il dubbio è che sembra volerne una ma non dovrebbe essere unica