Prodotto numeri complessi forma trigonometrica

[CLaudio Nine]

Ciao a tutti,

Vi scrivo perchè ho un dubbio riguardo il prodotto fra numeri complessi espressi in forma trigonometrica

Dati i due numeri complessi $z1$ e $z2$ , il loro prodotto sarà:
$z1 z2$ =[$z1$] [$z2$] $(cos ( \phi + \varphi ) + (i sin( \phi + \varphi ) ? $

Oppure

$z1 z2$ =[$z1$] [$z2$] $(cos ( \phi + \varphi ) i + ( sin( \phi + \varphi ) $

L'unica differenza sta nella variazione di posto dell'unità immaginaria $i$.
Faccio questa domanda perchè sono confuso da alcune note del mio professore, non so se le due formule siano equivalenti.

Vi ringrazio in anticipo!

[Lucia015]

Ciao, la forma corretta è questa:

$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2))$

Deriva dalla rappresentazione di una coppia ordinata di numeri reali $z=(a,b)=a+ib$ sul piano di Argand-Gauss.
Basta cercare su Google "forma trigonometrica numeri complessi" e la trovi.

Per dimostrare l'equazione, è sufficiente che moltiplichi i due numeri in forma trigonometrica e svolgi i calcoli...

$z_1=|z_1|(\cos(\phi_1)+i\sin(\phi_1))$
$z_2=|z_2|(\cos(\phi_2)+i\sin(\phi_2))$

$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1)+i\sin(\phi_1))(\cos(\phi_2)+i\sin(\phi_2))$

Svolgendo i calcoli risulta:
$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1)\cos(\phi_2)+i\cos(\phi_1)\sin(\phi_2)+i\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)+i^2\sin(\phi_1)\sin(\phi_2))$

$z_1z_2=|z_1||z_2|[(\cos(\phi_1)\cos(\phi_2)-\sin(\phi_1)\sin(\phi_2))+i(\cos(\phi_1)\sin(\phi_2)+\sin(\phi_1)\cos(\phi_2))]$

A questo punto applicando le formule di addizione degli archi:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$
$\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)$

$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2))$

[CLaudio Nine]

"Lucia01":Ciao, hai scritto troppi dollari in LateX...

Comunque la forma corretta è questa:

$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2))$

Deriva dalla rappresentazione di una coppia ordinata di numeri reali $z=(a,b)=a+ib$ sul piano di Argand-Gauss.
Basta cercare su Google "forma trigonometrica numeri complessi" e la trovi.

Per dimostrare l'equazione, è sufficiente che moltiplichi i due numeri in forma trigonometrica e svolgi i calcoli...

$z_1=|z_1|(\cos(\phi_1)+i\sin(\phi_1))$
$z_2=|z_2|(\cos(\phi_2)+i\sin(\phi_2))$

$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1)+i\sin(\phi_1))(\cos(\phi_2)+i\sin(\phi_2))$

Svolgendo i calcoli risulta:
$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1)\cos(\phi_2)+i\cos(\phi_1)\sin(\phi_2)+i\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)+i^2\sin(\phi_1)\sin(\phi_2))$

$z_1z_2=|z_1||z_2|[(\cos(\phi_1)\cos(\phi_2)-\sin(\phi_1)\sin(\phi_2))+i(\cos(\phi_1)\sin(\phi_2)+i\sin(\phi_1)\cos(\phi_2))]$

A questo punto applicando le formule di addizione degli archi:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$
$\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)$

$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2))$

Grazie Lucia. Ero un pò confuso dalle note del mio professore in cui l'unità immaginaria non era moltiplicata per il sin ma per il cos. Faccio un upload della foto per mostrarti ciò:





Ad ogni modo, ti ringrazio!