Forme bilineari simmetriche Prodotti scalari
Ciao a tutti,
Vi scrivo perchè ho dei dubbi riguardo le forme bilineari simmetriche e i prodotti scalari.
Se non ho capito male, una forma bilineare simmetrica è un'applicazione che gode di determinate proprietà.
Un prodotto scalare è un tipo di forma bilineare simmetrica nella quale gli autovalori associati sono tutti positivi.
(Mi scuso se ho sparato qualche cavolata
)
Detto questo, per risolvere un esercizio di questo tipo:
Determinare per quale valore del parametro la seguente matrice definisce:
a) una forma bilineare simmetrica b) un prodotto scalare
$ ((0,2,3) , (a,0,3) , (3,3,5)) $
per far sì che la matrice definisca una forma bilineare o un prodotto scalare, il parametro deve essere in entrambi i casi uguale a 2?
Vi ringrazio per il vostro tempo!
Vi scrivo perchè ho dei dubbi riguardo le forme bilineari simmetriche e i prodotti scalari.
Se non ho capito male, una forma bilineare simmetrica è un'applicazione che gode di determinate proprietà.
Un prodotto scalare è un tipo di forma bilineare simmetrica nella quale gli autovalori associati sono tutti positivi.
(Mi scuso se ho sparato qualche cavolata
)Detto questo, per risolvere un esercizio di questo tipo:
Determinare per quale valore del parametro la seguente matrice definisce:
a) una forma bilineare simmetrica b) un prodotto scalare
$ ((0,2,3) , (a,0,3) , (3,3,5)) $
per far sì che la matrice definisca una forma bilineare o un prodotto scalare, il parametro deve essere in entrambi i casi uguale a 2?
Vi ringrazio per il vostro tempo!
Risposte
Ciao Claudio.
Nell'esempio che hai portato hai giustamente detto che la matrice $A_1$ è una forma bilineare simmetrica quando...la matrice è simmetrica, ovvero per $a=2$
Per rispondere alla seconda domanda però occorre fare riferimento alla definizione di prodotto scalare.
In questo caso (da come è proposto è l'esercizio) ritengo che la definizione sia quella più estesa, quindi NON è un prodotto scalare (o meglio è indefinito) quando la matrice NON è definita/semidefinita positiva, oppure definita/semidefinita negativa.
Visto che, se la matrice associata ad $A1$ rispetto ad un'altra base è definita/indefinita, allora lo è anche $A1$, tanto vale cercare la matrice diagonale associata e analizzarla.
Se tutti gli autovalori sono positivi oppure positivi/zero allora la matrice diagonale (e di conseguenza anche la $A1$) è rispettivamente definita positiva/semidefinita positiva.
Se tutti gli autovalori sono negativi oppure negativi/zero allora la matrice diagonale (e di conseguenza anche la $A1$) è rispettivamente definita negativa/semidefinita negativa.
Per $a=2$, gli autovalori della $A1$ mi risultano -1,8,-2 quindi hanno segno misto, ergo $A1$ è una forma bilineare simmetrica ma NON un prodotto scalare.
Dato che la forma bilineare associata ad un prodotto scalare deve essere simmetrica, non ci sono altri valori di a da analizzare. Diverso sarebbe stato il caso in cui il parametro comparisse lungo la diagonale della matrice.
Nell'esempio che hai portato hai giustamente detto che la matrice $A_1$ è una forma bilineare simmetrica quando...la matrice è simmetrica, ovvero per $a=2$
Per rispondere alla seconda domanda però occorre fare riferimento alla definizione di prodotto scalare.
In questo caso (da come è proposto è l'esercizio) ritengo che la definizione sia quella più estesa, quindi NON è un prodotto scalare (o meglio è indefinito) quando la matrice NON è definita/semidefinita positiva, oppure definita/semidefinita negativa.
Visto che, se la matrice associata ad $A1$ rispetto ad un'altra base è definita/indefinita, allora lo è anche $A1$, tanto vale cercare la matrice diagonale associata e analizzarla.
Se tutti gli autovalori sono positivi oppure positivi/zero allora la matrice diagonale (e di conseguenza anche la $A1$) è rispettivamente definita positiva/semidefinita positiva.
Se tutti gli autovalori sono negativi oppure negativi/zero allora la matrice diagonale (e di conseguenza anche la $A1$) è rispettivamente definita negativa/semidefinita negativa.
Per $a=2$, gli autovalori della $A1$ mi risultano -1,8,-2 quindi hanno segno misto, ergo $A1$ è una forma bilineare simmetrica ma NON un prodotto scalare.
Dato che la forma bilineare associata ad un prodotto scalare deve essere simmetrica, non ci sono altri valori di a da analizzare. Diverso sarebbe stato il caso in cui il parametro comparisse lungo la diagonale della matrice.
"Bokonon":
Ciao Claudio.
Nell'esempio che hai portato hai giustamente detto che la matrice $A_1$ è una forma bilineare simmetrica quando...la matrice è simmetrica, ovvero per $a=2$
Per rispondere alla seconda domanda però occorre fare riferimento alla definizione di prodotto scalare.
In questo caso (da come è proposto è l'esercizio) ritengo che la definizione sia quella più estesa, quindi NON è un prodotto scalare (o meglio è indefinito) quando la matrice NON è definita/semidefinita positiva, oppure definita/semidefinita negativa.
Visto che, se la matrice associata ad $A1$ rispetto ad un'altra base è definita/indefinita, allora lo è anche $A1$, tanto vale cercare la matrice diagonale associata e analizzarla.
Se tutti gli autovalori sono positivi oppure positivi/zero allora la matrice diagonale (e di conseguenza anche la $A1$) è rispettivamente definita positiva/semidefinita positiva.
Se tutti gli autovalori sono negativi oppure negativi/zero allora la matrice diagonale (e di conseguenza anche la $A1$) è rispettivamente definita negativa/semidefinita negativa.
Per $a=2$, gli autovalori della $A1$ mi risultano -1,8,-2 quindi hanno segno misto, ergo $A1$ è una forma bilineare simmetrica ma NON un prodotto scalare.
Dato che la forma bilineare associata ad un prodotto scalare deve essere simmetrica, non ci sono altri valori di a da analizzare. Diverso sarebbe stato il caso in cui il parametro comparisse lungo la diagonale della matrice.
Grazie mille sei stato chiarissimo!! Solo per essere sicuro di aver capito:
Una matrice associata ad una forma bilineare simmetrica rappresenta una prodotto scalare se tutti gli autovalori sono strettamente maggiori di zero?
Credo che non serva calcolarsi gli autovalori, difatti quella matrice rappresenta una certa forma rispetto alla base canonica (penso siamo in R3) e allora si vede che su $\e_{1}$ fa zero ed è isotropo, perciò è solo semidefinita positiva.
Per l'ultima domanda: si (infatti quello che fai diagonalozzando sarebbe trovarti una nuova base, se un vettore della nuova base fosse isotropo allora non è definita positiva) oppure puoi ricordare che lo è se e solo se ha segnatura (n,0(,0)) che è la stessa cosa e quindi deve avere solo autovalori positivi.
Spero di non aver detto cavolate..
Per l'ultima domanda: si (infatti quello che fai diagonalozzando sarebbe trovarti una nuova base, se un vettore della nuova base fosse isotropo allora non è definita positiva) oppure puoi ricordare che lo è se e solo se ha segnatura (n,0(,0)) che è la stessa cosa e quindi deve avere solo autovalori positivi.
Spero di non aver detto cavolate..
"CLaudio Nine":
Grazie mille sei stato chiarissimo!! Solo per essere sicuro di aver capito:
Una matrice associata ad una forma bilineare simmetrica rappresenta una prodotto scalare se tutti gli autovalori sono strettamente maggiori di zero?
Come dicevo nel post, ho dovuto fare una supposizione (basandomi su come era stato proposto l'esercizio).
La risposta infatti è "dipende".
Ho scoperto che ci sono professori e libri che definiscono il prodotto scalare solo se la matrice è definita positiva (così avevo imparato pure io). Altri anche se è semidefinita positiva. Altri ancora anche se è definita/semidefinita negativa.
Ti consiglio di verificare cosa vuole il tuo prof.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo