Delucidazioni sulla terminologia spazi vettoriali
Buonasera,
studiando i fondamenti riguardanti gli spazi vettoriali, mi stanno sorgendo dei dubbi riguardo la terminologia usata.
Uno spazio vettoriale su un campo K viene definito come un insieme di vettori V, dotati di somma tra vettori in V e prodotto di uno scalare in K per un vettore in V.
1) Sono stato abituata a considerare gli scalari come semplici numeri, però ho letto un'altra definizione più formale di scalare: è uno scalare qualsiasi elemento di un campo. Quindi è da considerare scalare anche un elemento di un campo non numerico? Se sì, posso definire spazio vettoriale su K se K è un campo non numerico?
2) Discorso analogo per quanto riguarda i vettori. Poiché le proprietà delle due operazioni (somma e prodotto di scalare per vettore) possono valere anche per elementi che non sono considerati propriamente vettori, posso definire ugualmente uno spazio vettoriale?
Grazie in anticipo per eventuali delucidazioni.
studiando i fondamenti riguardanti gli spazi vettoriali, mi stanno sorgendo dei dubbi riguardo la terminologia usata.
Uno spazio vettoriale su un campo K viene definito come un insieme di vettori V, dotati di somma tra vettori in V e prodotto di uno scalare in K per un vettore in V.
1) Sono stato abituata a considerare gli scalari come semplici numeri, però ho letto un'altra definizione più formale di scalare: è uno scalare qualsiasi elemento di un campo. Quindi è da considerare scalare anche un elemento di un campo non numerico? Se sì, posso definire spazio vettoriale su K se K è un campo non numerico?
2) Discorso analogo per quanto riguarda i vettori. Poiché le proprietà delle due operazioni (somma e prodotto di scalare per vettore) possono valere anche per elementi che non sono considerati propriamente vettori, posso definire ugualmente uno spazio vettoriale?
Grazie in anticipo per eventuali delucidazioni.
Risposte
1) Certo, puoi definire spazi vettoriali su qualsiasi campo.
2) I polinomi formano uno spazio vettoriale. Se cerchi una generalizzazione dei polinomi devi cercare il concetto di algebra su un campo.
2) I polinomi formano uno spazio vettoriale. Se cerchi una generalizzazione dei polinomi devi cercare il concetto di algebra su un campo.
Grazie!
"Lucia01":
Uno spazio vettoriale su un campo K viene definito come un insieme di vettori V
"Lucia01":Un \( \mathbb{K} \)-spazio vettoriale \( V \) è un insieme di sostegno (i cui elementi posso essere "qualsiasi cosa"!), munito delle due operazioni \( {+}\colon\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K} \) e \( {*}\colon\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K} \) che hai elencato. Commetti un errore dicendo che uno spazio vettoriale è un insieme di vettori, perché parola vettore sta unicamente ad indicare un elemento di uno spazio vettoriale.
2) [...] Poiché le proprietà delle due operazioni (somma e prodotto di scalare per vettore) possono valere anche per elementi che non sono considerati propriamente vettori, posso definire ugualmente uno spazio vettoriale?
Considera l'esempio classico di \( \mathbb{K}^n \), dove \( \mathbb{K} \) se vuoi può essere \( \mathbb{R} \), o \( \mathbb{C} \); quando parliamo di "vettori di \( \mathbb{K}^n \)", dovremmo sempre specificare tutti i dati necessari che compongono la sua struttura. Il vettore \( v=(v_1,\dots,v_n) \) che si somma ad un generico vettore \( w=(w_1,\dots,w_n) \) componente a componente, non è lo stesso vettore di \( v \) dove la somma con un \( \mathbb{K}\ni w=(w_1,\dots,w_n) \) (e il prodotto per scalare) sia definita in altro modo.
In poche parole: stesso insieme di sostegno \( V \), operazioni \( {+} \) e \( {*} \), \( {+'} \) e \( {*'} \) diverse (obbedienti agli assiomi di spazio vettoriale) implicano che \( \mathbf{V}=\left(V,{+},{*}\right) \) e \( \mathbf{V}'=\left(V,{+'},{*'}\right) \) siano spazi vettoriali diversi. Il vettore \( v_0 \) di \( \mathbf{V} \) (fai un elemento \( v\in V \)) non è lo stesso vettore di \( v_0 \) di \( \mathbf{V}' \) (anche se \( v=v \) come elemento di \( V \), di cui ci siamo adesso "dimenticati la struttura").
Quindi, per quanto riguarda gli elementi che non sono considerati propriamente vettori, la domanda - come l'ho intesa io - non ha senso: dato un insieme qualsiasi, se equipaggiato con due applicazioni di addizione e prodotto per scalare qualsiasi "ben fatte" (a.k.a. aderenti agli assiomi di s.v.), questo è uno spazio vettoriale e i suoi elementi sono "vettori", nel senso che sono elementi di uno spazio vettoriale.
Ah.. Aggiungo che, come sei stato abituato a pensare agli scalari come a dei reali, probabilmente sei stato anche abituato a pensare ai vettori come a dei "segmenti orientati", o giù di lì: l'affare è lo stesso, nel senso che, come uno "scalare" è un elemento di un campo (ossia se ne fa somma e prodotto con i suoi simili in un certo modo), un vettore è, allo stesso modo, una cosa che viene addizionata e moltiplicata rispettivamente con i suoi simili e con scalari un un altro determinato modo.
Grazie per aver approfondito la spiegazione!
Quindi se ho capito bene lo spazio vettoriale non è l'insieme $V$, ma l'intera quaterna $(K, V, +, \cdot)$, in cui $(V, +)$ è un gruppo abeliano e sulla quale valgono altri 4 assiomi per il prodotto per scalare. Gli elementi di $V$ in funzione (si può dire?) di tale quaterna sono chiamati vettori. Corretto?
Quello che mi ha lasciata spiazzata è il fatto che il professore considera $V$ come classe di equipollenza dei vettori applicati, quindi in sostanza l'insieme dei vettori liberi (o geometrici)... ed il fatto di introdurre agli studenti i vettori prima del concetto di spazio vettoriale può generare confusione. D'altronde, capisco la difficoltà di spiegare gli spazi vettoriali senza prima aver dato qualche nozione sui vettori.
Quindi se ho capito bene lo spazio vettoriale non è l'insieme $V$, ma l'intera quaterna $(K, V, +, \cdot)$, in cui $(V, +)$ è un gruppo abeliano e sulla quale valgono altri 4 assiomi per il prodotto per scalare. Gli elementi di $V$ in funzione (si può dire?) di tale quaterna sono chiamati vettori. Corretto?
Quello che mi ha lasciata spiazzata è il fatto che il professore considera $V$ come classe di equipollenza dei vettori applicati, quindi in sostanza l'insieme dei vettori liberi (o geometrici)... ed il fatto di introdurre agli studenti i vettori prima del concetto di spazio vettoriale può generare confusione. D'altronde, capisco la difficoltà di spiegare gli spazi vettoriali senza prima aver dato qualche nozione sui vettori.
"Lucia01":Sì.
Quindi se ho capito bene lo spazio vettoriale non è l'insieme $ V $, ma l'intera quaterna $ (K, V, +, \cdot) $, in cui $ (V, +) $ è un gruppo abeliano e sulla quale valgono altri 4 assiomi per il prodotto per scalare. Gli elementi di $ V $ in funzione (si può dire?) di tale quaterna sono chiamati vettori. Corretto?
"Lucia01":Credo che questo sia fatto pressoché ovunque nei corsi di fisica: basta tenere distinte nella propria testa le due cose. La def. "giusta" è quella che hai scritto due righe sopra, e l'insieme delle "classi di equipollenza di segmenti orientati" è uno spazio vettoriale (più o meno). (Come è uno spazio vettoriale quello delle funzioni continue, rispetto alla somma e al prodotto di \( \mathbb{R} \), lo spazio dei polinomi[nota][url]https://proofwiki.org/wiki/Definition:Polynomial#Real_Numbers[/url][/nota], ecc...)
il professore considera $ V $ come classe di equipollenza dei vettori applicati
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