Cambio di base
Ciao a tutti.
Ho qualche dubbio riguardo il cambio di base nelle applicazioni lineari, e le matrici associate al cambio di base.
Sia $ B1 $ la base siffatta $ (v1, v2, v3) $ e $ B2 $ la base siffatta $ (w1, w2, w3) $
1) Per scrivere la matrice $ C $ associata al cambio di base dalla base $ B1 $ alla base $ B2 $ , bisogna scrivere i vettori che compongono la base $ B2 $ come combinazione lineare dei vettori della base $ B1 $ , o viceversa?
2) Una volta scritta la matrice di cambio base, la relazione che intercorre tra le due basi e la seguente:
$ (w1, w2, w3) = (v1, v2, v3) C $
Seppure questo passaggio risulterebbe essere logico da un punto di vista intuitivo, non capisco come ciò avvenga. Qualcuno potrebbe mostramelo?
3) Nello scrivere la relazione che intercorre tra due matrici simili, $ A = C D C^-1 $
Qual è l'ordine da seguire nello scrivere l'equazione? Intendo dire, con quale ordine devo disporre le matrici di cambio base?
Prima la matrice per passare da base di A a base di D dopo la sua inversa?
Grazie mille in anticipo
Ho qualche dubbio riguardo il cambio di base nelle applicazioni lineari, e le matrici associate al cambio di base.
Sia $ B1 $ la base siffatta $ (v1, v2, v3) $ e $ B2 $ la base siffatta $ (w1, w2, w3) $
1) Per scrivere la matrice $ C $ associata al cambio di base dalla base $ B1 $ alla base $ B2 $ , bisogna scrivere i vettori che compongono la base $ B2 $ come combinazione lineare dei vettori della base $ B1 $ , o viceversa?
2) Una volta scritta la matrice di cambio base, la relazione che intercorre tra le due basi e la seguente:
$ (w1, w2, w3) = (v1, v2, v3) C $
Seppure questo passaggio risulterebbe essere logico da un punto di vista intuitivo, non capisco come ciò avvenga. Qualcuno potrebbe mostramelo?
3) Nello scrivere la relazione che intercorre tra due matrici simili, $ A = C D C^-1 $
Qual è l'ordine da seguire nello scrivere l'equazione? Intendo dire, con quale ordine devo disporre le matrici di cambio base?
Prima la matrice per passare da base di A a base di D dopo la sua inversa?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao!
Per la terza richiesta:
Dato un omomorfismo tra due $k$-spazi vettoriali $V,W$, $L:V->W$ e date quattro basi
Se $A$ rappresenta $L$ rispetto alle prime due basi
E se $B$ rappresenta $L$ rispetto alle ultime due basi
Allora la relazione è $B=QAP^(-1)$
Dove $Q:B_(W_1)->B_(W_2)$ e $P^(-1):B_(V_2)->B_(V_1)$
Ossia la matrice $Q$ è la matrice di passaggio dalla prima base del codominio alla seconda base, la matrice $P^(-1)$ è quella di passaggio dalla seconda base del dominio alla prima.
In genere per magari tenerlo a mente puoi pensare che la matrice rispetto alla seconda coppia di basi la ottieni come:
-passi dalla prima brima base del codominio alla seconda
-moltiplichi per la matrice che hai
-passi dalla seconda base del dominio alla prima
Io lo ricordo(quando mi serve rapidamente) come $Q(1,2)AP(2,1)$ o semplicemente $(1,2,2,1)$. Per ‘seconde basi’ intendo quelle rispetto a cui voglio trovare la matrice.
Quando $V=W$ considerando $B_(V_1)=B_(W_1)$ e anche per le seconde diventa $B=PAP^(-1)$
Per esempio quando diagonalizzi un endomorfismo $T:V->V$ e trovi una base di autovettori è chiaro che la matrice diagonale la troverai proprio calcolando $D=PAP^(-1)$ dove $P$ ti fa passare dalla prima base del dominio alla seconda(quella diagonalizzante) e $P^(-1)$ dalla seconda base del codominio(che è sempre quella disgonalizzante) alla prima.
Prendendo l’applicazione $T(x,y)=[(8,4),(1,8)]*[(x),(y)]$ con $T:RR^2->RR^2$ e basi canoniche fissate
La base diagonalizzante è data da $B={(2,1),(-2,1)}$
La matrice $P^(-1)$ sarà $P^(-1)=[(2,-2),(1,1)]$
La matrice $P$ sarà $P=[(1/4,1/2),(-1/4,1/2)]$
Facendo i calcoli vedrai che ti verrà esattamente $[(10,0),(0,6)]$
NOTA io uso indicare la matrice di passaggio $P$ da $B_1$ a $B_2$ come la matrice che ti trasforma che ti trasforma le coordinate rispetto alla base $1$ in quelle rispetto alla base $2$. Alcuni testi/professori indicano la matrice di passaggio da $B_1$ a $B_2$ come quella matrice che ti permette di ottenere le coordinate di $B_1$ da quelle di $B_2$
La sostanza è la stessa, solo che si invertono i ruoli, ossia spunta $B=P^(-1)AP$
Ti consiglio di far tuo uno dei due metodi e portare avanti sempre quello per evitare confusione.
Per la terza richiesta:
Dato un omomorfismo tra due $k$-spazi vettoriali $V,W$, $L:V->W$ e date quattro basi
$B_(V_1)$, $B_(W_1)$ e $B_(V_2)$, $B_(W_2)$
Se $A$ rappresenta $L$ rispetto alle prime due basi
E se $B$ rappresenta $L$ rispetto alle ultime due basi
Allora la relazione è $B=QAP^(-1)$
Dove $Q:B_(W_1)->B_(W_2)$ e $P^(-1):B_(V_2)->B_(V_1)$
Ossia la matrice $Q$ è la matrice di passaggio dalla prima base del codominio alla seconda base, la matrice $P^(-1)$ è quella di passaggio dalla seconda base del dominio alla prima.
In genere per magari tenerlo a mente puoi pensare che la matrice rispetto alla seconda coppia di basi la ottieni come:
-passi dalla prima brima base del codominio alla seconda
-moltiplichi per la matrice che hai
-passi dalla seconda base del dominio alla prima
Io lo ricordo(quando mi serve rapidamente) come $Q(1,2)AP(2,1)$ o semplicemente $(1,2,2,1)$. Per ‘seconde basi’ intendo quelle rispetto a cui voglio trovare la matrice.
Quando $V=W$ considerando $B_(V_1)=B_(W_1)$ e anche per le seconde diventa $B=PAP^(-1)$
Per esempio quando diagonalizzi un endomorfismo $T:V->V$ e trovi una base di autovettori è chiaro che la matrice diagonale la troverai proprio calcolando $D=PAP^(-1)$ dove $P$ ti fa passare dalla prima base del dominio alla seconda(quella diagonalizzante) e $P^(-1)$ dalla seconda base del codominio(che è sempre quella disgonalizzante) alla prima.
Prendendo l’applicazione $T(x,y)=[(8,4),(1,8)]*[(x),(y)]$ con $T:RR^2->RR^2$ e basi canoniche fissate
La base diagonalizzante è data da $B={(2,1),(-2,1)}$
La matrice $P^(-1)$ sarà $P^(-1)=[(2,-2),(1,1)]$
La matrice $P$ sarà $P=[(1/4,1/2),(-1/4,1/2)]$
Facendo i calcoli vedrai che ti verrà esattamente $[(10,0),(0,6)]$
NOTA io uso indicare la matrice di passaggio $P$ da $B_1$ a $B_2$ come la matrice che ti trasforma che ti trasforma le coordinate rispetto alla base $1$ in quelle rispetto alla base $2$. Alcuni testi/professori indicano la matrice di passaggio da $B_1$ a $B_2$ come quella matrice che ti permette di ottenere le coordinate di $B_1$ da quelle di $B_2$
La sostanza è la stessa, solo che si invertono i ruoli, ossia spunta $B=P^(-1)AP$
Ti consiglio di far tuo uno dei due metodi e portare avanti sempre quello per evitare confusione.
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