Matrici scalini e basi di "Span"

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Perdonatemi se faccio errori di traduzione.
Trovare una base a scalini ridotta del sottospazio vettoriale \(W\) di \(K^n\).
1) \(K=\mathbb{Q}, n=3, W=\operatorname{Span}((1,-3,-2),(2,-3,5)) \)
2) \(K=\mathbb{F}_3, n=5, W=\operatorname{Span}((0,2,1,0,2),(1,0,1,2,1),(2,0,2,2,1)) \)

Con \( L_{ij}(\lambda) \) intendo sommare alla lignea \( i \) la lignea \( j \) moltiplicata per lo scalare \(\lambda\)
Con \( T_{ij} \) intendo invertire la posizione della lignea \( i \) e della lignea \( j \)
Con \( D_{i}(\lambda) \) intendo moltiplicare la lignea \( i \) per lo scalare \(\lambda\)

Per il primo ho fatto \( \begin{pmatrix}
1&-3&-2 \\
2&-3&5
\end{pmatrix} \overset{L_{21}(-2)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&-3&-2 \\
0&3&9
\end{pmatrix} \overset{L_{12}(1)}{\underset{D_2(1/3)}{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&0&7 \\
0&1&3
\end{pmatrix} \)

Mentre nelle correzioni c'è scritto:

\( \begin{pmatrix}
1&3&-2 \\
2&-3&5
\end{pmatrix} \overset{L_{21}(-2)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&3&-2 \\
0&-9&9
\end{pmatrix} \overset{L_{12}(1/3)}{\underset{D_2(-1/9)}{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&0&1 \\
0&1&-1
\end{pmatrix} \)

Mi domandavo se sono io ad aver sbagliato oppure sono le correzioni del prof, che ha cambiato segno al \( -3\) (l'elemento \( a_{12} \) della matrice.

Per il secondo avevo un piccolo dubbio, io ho fatto così.
\( \begin{pmatrix}
0& 2 & 1 &0 & 2\\
1 &0 &1 &2 &1 \\
2 &0 &2 &2 &1
\end{pmatrix} \overset{T_{12}}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &2 &1 \\
0& 2 & 1 &0 & 2\\
2 &0 &2 &2 &1
\end{pmatrix} \overset{L_{31}(1)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &2 &1 \\
0& 2 & 1 &0 & 2\\
0 &0 &0 &1 &2
\end{pmatrix} \overset{D_{2}(2)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &2 &1 \\
0& 1 & 2 &0 & 1\\
0 &0 &0 &1 &2
\end{pmatrix} \overset{L_{13}(1)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &0 &0 \\
0& 1 & 2 &0 & 1\\
0 &0 &0 &1 &2
\end{pmatrix}\)

Ora posso dire che una base del punto (1) è \( B_W = ((1,0,7),(0,1,3) ) \) mentre nel punto (2) \( B_W = ((1,0,1,0,0),(0,1,2,0,1),(0,0,0,1,2) ) \) e se si come mai queste due sono delle basi? Rispettivamente di \(\operatorname{Span}((1,-3,-2),(2,-3,5)) \) e \(\operatorname{Span}((0,2,1,0,2),(1,0,1,2,1),(2,0,2,2,1)) \)?

[axpgn]

Scusami, non vorrei dire fesserie, ma hai applicato la "normale" riduzione a scalini però hai disposto i vettori in riga invece che in colonna?
Per esempio, nel primo caso, se provi a usare quelle basi per generare il primo dei due vettori non ci riesci ... così a me pare

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":Scusami, non vorrei dire fesserie, ma hai applicato la "normale" riduzione a scalini però hai disposto i vettori in riga invece che in colonna?
Per esempio, nel primo caso, se provi a usare quelle basi per generare il primo dei due vettori non ci riesci ... così a me pare

Cordialmente, Alex

Poniamo \( v_1= (1,0,7) \) e \( v_2= (0,1,3) \) i due vettori della base, \( \lambda v_1 + \mu v_2 = (1,-3,-2) \) con \( \lambda = 1 \) e \(\mu=-3 \) funziona. Inoltre \( \alpha v_1 + \beta v_2 = (2,-3,5) \) con \( \alpha = 2 \) e \(\beta=-3 \) funziona pure!
La cosa strana è che anche la base delle correzioni \( w_1= (1,0,1) \) e \( v_2= (0,1,-1) \) genera i due vettori, ma in corso abbiamo dimostrato che la forma a scalini ridotta è unica... e io ottengo una matrice ridotta diversa da quella delle correzioni ma entrambe le basi generano lo spazio.

Penso si faccia così (?), ma volevo appunto chiedere il perché bisogna fare così e anche il perché si ottiene una base.
Cito un esempio fatto in corso:
Trovare una base di \(W= \operatorname{Span}(1+t,t^3-t,t^2+t+2,t^3-2t^2-2t-3) \subset \mathbb{R}[t]_{\leq 3} \) e completarla in una base di \(\mathbb{R}[t]_{\leq 3} \). Fissiamo una base ordinata \( B=(1,t,t^2,t^3)\) di \(\mathbb{R}[t]_{\leq 3} \). Abbiamo che i vettori \( v_1, v_2,v_3,v_4 \) espressi in \( B \) sono \( (v_1)_B = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \) , \( (v_2)_B = \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0\\
1
\end{pmatrix} \) , \( (v_3)_B = \begin{pmatrix}
2\\
1\\
1\\
0
\end{pmatrix} \) , \( (v_4)_B = \begin{pmatrix}
-3\\
-2\\
-2\\
1
\end{pmatrix} \) ,

Riduciamo a scalini la matrice:
\( \begin{pmatrix}
1& 1 & 0 &0 \\
0 & -1 &0 &1 \\
2 & 1 & 1 & 0\\
-3 & -2 & -2 &1
\end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix}
1& 1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 &0
\end{pmatrix} \)
Abbiamo dunque che le lignee non nulle della matrice a scalini rappresentano una base di \( W \) e questa base è \( B_W = (1+t, t-t^3 , t^2-t^3) \) e per completarla in una base di \(\mathbb{R}[t]_{\leq 3} \) è sufficiente aggiungere \( t^3 \).

[axpgn]

La riduzione a scalini è unica ma tu e il prof partite da vettori diversi e siccome le basi non sono uniche, avrete trovato basi diverse …
Quello che non capisco è il modo con cui fai la riduzione …

Cordialmente, Alex

[ot]Si dice "linea" e "linee" [/ot]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":La riduzione a scalini è unica ma tu e il prof partite da vettori diversi e siccome le basi non sono uniche, avrete trovato basi diverse …
Quello che non capisco è il modo con cui fai la riduzione …

Cordialmente, Alex

[ot]Si dice "linea" e "linee" [/ot]

E perché il prof parte dalla matrice \( \begin{pmatrix}
1 &3 &-2 \\
2 &-3 &5
\end{pmatrix} \) invece che da \( \begin{pmatrix}
1 &-3 &-2 \\
2 &-3 &5
\end{pmatrix} \) ??

Cos'è che non capisci del modo in cui faccio la riduzione?
[ot]Sono così abituato a scrivere in francese che ho dimenticato l'italiano, "ligne" mi viene da tradurlo con lignea e non linea... ops [/ot]

[axpgn]

Devi chiederlo al prof …

Sono abituato a mettere i vettori in verticale, fare la "normale" riduzione e prendere come base i vettori colonna-pivot mentre tu li metti in orizzontale, fai la "normale" riduzione e li riprendi tutti come base.
Avevo letto che si poteva lavorare anche per righe ma non mi ricordo come fosse la procedura ...

[dissonance]

"3m0o":
Mi domandavo se sono io ad aver sbagliato oppure sono le correzioni del prof, che ha cambiato segno al \( -3\) (l'elemento \( a_{12} \) della matrice.

Sembra proprio un errore di trascrizione.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":Devi chiederlo al prof …

Sono abituato a mettere i vettori in verticale, fare la "normale" riduzione e prendere come base i vettori colonna-pivot mentre tu li metti in orizzontale, fai la "normale" riduzione e li riprendi tutti come base.
Avevo letto che si poteva lavorare anche per righe ma non mi ricordo come fosse la procedura ...

Scusa ma cosa intendi con "normale" riduzione ?
Perché ad esempio se avessimo \( W= \operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,1) ) \)
Nel modo che faccio io
\( \begin{pmatrix}
1 & 1 &1 \\
1 & 2& 1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 &1 \\
0 & 1& 0
\end{pmatrix} \)

Ottengo una base \(B=( (1,0,1),(0,1,0))\) di \( W \) mentre invece mettendo i vettori in colonna: \( \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2\\
1 &1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1\\
0&0
\end{pmatrix} \) non ottieni una base \( B'=((1,0,0),(1,1,0))\) di \( W \) se invece la riduci a scalini facendo l'algoritmo di Gauss con le colonne allora è equivalente perché farlo con le colonne mettendo in colonna i vettori o farlo con le linee mettendo i vettori in linea non cambia nulla... ? Non capisco cosa fai per trovare la base dello span di vettori.

[axpgn]

Te l'ho detto come faccio, normalmente …

Esempio:

$S={[(1),(1),(2),(1)][(2),(2),(4),(2)][(2),(0),(-1),(1)][(7),(1),(-1),(4)][(0),(2),(5),(1)]}$

$W=$

Riduzione a scalini

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(-2),(-5),(-1)][(7),(-6),(-15),(-3)][(0),(2),(5),(1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(1),(1)][(7),(3),(3),(3)][(0),(-1),(-1),(-1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(0),(0)][(7),(3),(0),(0)][(0),(-1),(0),(0)]$

La prima e la terza sono le colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(2),(1)][(2),(0),(-1),(1)]}$

è una base per $$.

Nel nostro caso

$W=<[(1),(1),(1)][(1),(2),(1)]>$

Riduco a scalini ed ottengo

$[(1),(0),(0)][(1),(1),(0)]$

Sono tutte e due colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(1)][(2),(1),(0)]}$

è una base di $W$ e non quella che hai scritto tu.

Ok?

Per quanto riguarda colonne e righe, capisco che è la stessa cosa se operi la riduzione "in orizzontale" invece che "in verticale" ma se il "verso" della riduzione è lo stesso nei due casi mi pare strano … IMHO

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":Te l'ho detto come faccio, normalmente …

Esempio:

$S={[(1),(1),(2),(1)][(2),(2),(4),(2)][(2),(0),(-1),(1)][(7),(1),(-1),(4)][(0),(2),(5),(1)]}$

$W=$

Riduzione a scalini

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(-2),(-5),(-1)][(7),(-6),(-15),(-3)][(0),(2),(5),(1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(1),(1)][(7),(3),(3),(3)][(0),(-1),(-1),(-1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(0),(0)][(7),(3),(0),(0)][(0),(-1),(0),(0)]$

La prima e la terza sono le colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(2),(1)][(2),(0),(-1),(1)]}$

è una base per $$.

Nel nostro caso

$W=<[(1),(1),(1)][(1),(2),(1)]>$

Riduco a scalini ed ottengo

$[(1),(0),(0)][(1),(1),(0)]$

Sono tutte e due colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(1)][(2),(1),(0)]}$

è una base di $W$ e non quella che hai scritto tu.

Ok?

Per quanto riguarda colonne e righe, capisco che è la stessa cosa se operi la riduzione "in orizzontale" invece che "in verticale" ma se il "verso" della riduzione è lo stesso nei due casi mi pare strano … IMHO

Cordialmente, Alex

Scusa se insisto ma vorrei capire.
Nell esempio che ho dato io te hai dato come base $B={[(1),(1),(1)][(2),(1),(0)]}$, volevi scrivere $B={[(1),(1),(1)][(1),(2),(1)]}$ ??
Forse ho capito il motivo per cui sono equivalenti.
Credo con \(\) indichi lo \( \operatorname{Span}((1,1,2,1),(2,2,4,2),(2,0,-1,1),(7,1,-1,4),(0,2,5,1)) \), sbaglio?
Ad ogni modo, consideriamo un'applicazione lineare \( \phi : V=K^5 \rightarrow K^4=W \) dove \( K \) è un campo, fissiamo una base di \(V\) \( B_V= (e_1, e_2,e_3,e_4,e_5 ) \) e fissiamo una base di \(W\), \(B_w= (f_1, f_2,f_3,f_4 ) \).
Per semplicità chiamiamo i vettori dello span nel nostro esempio \( v_1= (1,1,2,1), v_2=(2,2,4,2), v_3=(2,0,-1,1),v_4=(7,1,-1,4),v_5=(0,2,5,1) \).
E sia \(\phi \) tale che \( \phi(e_i)=v_i, \forall 1\leq i \leq 5 \)
Allora la matrice di \( \phi \) in rapporto a \( B_V \) e \( B_W \) è data da
\( (\phi)_{B_V}^{B_W} = \begin{pmatrix}
1 &2 &2 &7 &0\\
1 &2 &0 &1 &2\\
2 &4 &-1 &-1 &5\\
1& 2 &1 &4 & 1
\end{pmatrix} \)

Forse mi sbaglio, ma abbiamo che \( \operatorname{Im}(\phi) \) è dato dalle combinazioni lineari dei vettori colonna della matrice \( (\phi)_{B_V}^{B_W} \). Dunque \( \operatorname{Im}(\phi) = \operatorname{Span}(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)\) per cui trovare una base dello span è equivalente a trovare una base delle immagini dell'applicazione lineare definita come sopra.
Siccome \( \operatorname{Im}(\phi) \) è dato dalle combinazioni lineare dei vettori colonna della matrice possiamo trasporre la matrice e ridurla a scalini per linee per trovare una base, in quanto mandiamo a zero tutti i vettori colonna che sono combinazione lineare degli altri.

\(\begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
2 &2 &4 &2 \\
2 &0 &-1 &1 \\
7& 1 &-1 &4 \\
0& 2 &5 &1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &-2 &-5 &-1 \\
0& -6 &-15 &-3 \\
0& 2 &5 &1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
0& 2 &5 &1 \\
0 &-2 &-5 &-1 \\
0& -6 &-15 &-3 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
0& 1 &5/2 &1/2 \\
0 &-2 &-5 &-1 \\
0& -6 &-15 &-3 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &1/2 \\
0& 1 &5/2 &1/2 \\
0 &0 &0 &0 \\
0& 0 &0&0 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix} \)

Abbiamo così una base di \( \operatorname{Im}(\phi) \) data da \( B_{\operatorname{Im}(\phi)} = ((1 ,0 ,-1/2 ,1/2),( 0, 1 ,5/2 ,1/2) ) \)
Allo stesso modo possiamo ridurre a scalini la matrice \( (\phi)_{B_V}^{B_W} \) senza trasporla e trovare così una matrice linea equivalente della stessa applicazione lineare.
\(\begin{pmatrix}
1 &2 &2 &7 &0\\
0 &0 &1 &3 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0& 0 &0 &0 & 0
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &2 &0 &1 &2\\
0 &0 &1 &3 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0& 0 &0 &0 & 0
\end{pmatrix} \)

Quello che abbiamo fatto è cambiare base a \( W \) ovvero abbiamo trovato una base \( B'_W= ( w_1, w_2, w_3,w_4) \) che ci da la seguente matrice
\( (\phi)_{B_V}^{B'_W} = \begin{pmatrix}
1 &2 &0 &1 &2\\
0 &0 &1 &3 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0& 0 &0 &0 & 0
\end{pmatrix} \)
Ovvero abbiamo trovato una base \( B'_{W} \) tale che \( \phi(e_i)= \) i-esima colonna di \((\phi)_{B_V}^{B'_W}) \)
Questa nuova matrice ci da le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne infatti notiamo che \( \phi(e_2)= 2\phi(e_1) \) e \( \phi(e_4)=\phi(e_1) + 3 \phi(e_3) \) e che \( \phi(e_5) = 2 \phi(e_1) - \phi(e_3) \) e chiaramente \( \phi(e_1) \) e \(\phi(e_3) \) sono linearmente indipendenti in quanto hanno i pivot.
Dunque visto che è una matrice linea equivalente abbiamo le stesse relazioni con la base \( B_{W} \) dunque \( \phi(e_2) = 2 \phi(e_1) \) anche per rapporto alla base \(B_W\) etc... dunque siccome \( \operatorname{Im}(\phi) \) è dato dalla combinazione lineare dei vettori colonna \( (\phi(e_1),\phi(e_2),\phi(e_3),\phi(e_4),\phi(e_5) ) \) allora è anche combinazione lineare di \( (\phi(e_1),\phi(e_3))\).
Mentre come faccio io lavorando sulle colonne (oppure se vuoi sulle linea della trasposta) cambio base a \( V \) trovando una base \( B'_V = (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5) \) tale che \( \phi(a_1) = (1 ,0 ,-1/2 ,1/2)_{B_W} \) e \( \phi(a_2) = ( 0, 1 ,5/2 ,1/2)_{B_W} \) e che mi da una base di \( \operatorname{Im}(\phi) \)

Cioe in pratica il modo in cui io riduco la matrice mi da direttamente la base, prendo i vettori non nulli e ho una base, mentre invece il modo in cui fai te non ti da una base, ma ti da le relazioni di dipendenza dei vettori colonna di partenza e dunque prendi come base i vettori colonna linearmente indipendenti (ergo quelli con i pivot nella matrice ridotta). Sbaglio?

[axpgn]

"3m0o":... volevi scrivere $B={[(1),(1),(1)][(1),(2),(1)]}$ ??

Ovviamente sì …

"3m0o":Credo con $$ indichi lo \( \operatorname{Span}((1,1,2,1),(2,2,4,2),(2,0,-1,1),(7,1,-1,4),(0,2,5,1)) \), sbaglio?

Corretto.

"3m0o":Cioe in pratica il modo in cui io riduco la matrice mi da direttamente la base, prendo i vettori non nulli e ho una base, mentre invece il modo in cui fai te non ti da una base, ma ti da le relazioni di dipendenza dei vettori colonna di partenza e dunque prendi come base i vettori colonna linearmente indipendenti (ergo quelli con i pivot nella matrice ridotta). Sbaglio?

Penso di sì ... ... ho scritto "penso" perché non ho capito niente di tutto ciò che viene prima (ma non perché non ti sei spiegato ma solo perché sono un "babbano" come direbbe il maghetto ).
Ti confermo però la "mia" parte: prendo i vettori generatori dello span, riducendo a scalini "butto fuori" quelli dipendenti, restano quelli "necessari" ovvero la base.
A me così pare semplice …

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":
Penso di sì ... ... ho scritto "penso" perché non ho capito niente di tutto ciò che viene prima (ma non perché non ti sei spiegato ma solo perché sono un "babbano" come direbbe il maghetto ).
Ti confermo però la "mia" parte: prendo i vettori generatori dello span, riducendo a scalini "butto fuori" quelli dipendenti, restano quelli "necessari" ovvero la base.
A me così pare semplice …

Cordialmente, Alex

Provo a spiegarmi in un altro modo allora, praticamente avendo una base \( B_V = ( e_1, e_2, e_3, e_4,e_5) \) dello spazio di partenza e una base \( B_W=(f_1,f_2,f_3,f_4) \) dello spazio di arrivo, la matrice dell'applicazione lineare \( \phi \) da \( V \) a \(W\), in rapporto alle base \( B_V \) e \(B_W\)
\( \begin{pmatrix}
1 & 2 &2 &7 &0 \\
1& 2 & 0 & 1 & 2\\
2& 4& -1& -1 &5 \\
1& 2& 1& 4& 1
\end{pmatrix} \) ovvero significa che
\( \phi(e_1)= f_1 + f_2 + 2 f_3 + f_4\);
\( \phi(e_2)= 2f_1 +2f_2 + 4 f_3 +2 f_4\) ;
\( \phi(e_3)= 2f_1 + 0f_2 - f_3 + f_4\) ;
\( \phi(e_4)= 7f_1 + f_2 - f_3 + 4f_4\) ;
etc.
Riducendo a scalini come fai te.. cambi la base di \( W \) e trovi una nuova base \( B'_W= ( w_1, w_2,w_3,w_4) \)
tale che la matrice associata a \( \phi \) in rapporto alle basi \( B_V \) e \(B'_W\) è
\( \begin{pmatrix}
1 & 2 &0 &1 &2\\
0& 0 & 1 & 3 & -1\\
0& 0& 0& 0 &0 \\
0& 0& 0& 0& 0
\end{pmatrix} \) ovvero significa che
\( \phi(e_1)= w_1 \);
\( \phi(e_2)= 2fw_1 \) ;
\( \phi(e_3)= w_2 \) ;
\( \phi(e_4)= 1w_1 + 3w_2\) ;
\( \phi(e_5)= 2w_1 -w_2\) ;
Dunque una base di \( \operatorname{Im}(\phi) \) è \( B_{\operatorname{Im}(\phi)}=(w_1, w_2)=(\phi(e_1),\phi(e_3)) \)
Questo è vero in qualunque modo tu esprimi questi vettori, dunque esprimendo i vettori \( \phi(e_1) \) e \(\phi(e_3) \) nella base \( B_W\) abbiamo che una base di \( \operatorname{Im}(\phi) \) è \( B_{\operatorname{Im}(\phi)}=( f_1 + f_2 + 2 f_3 + f_4, 2f_1 + 0f_2 - f_3 + f_4)=(\phi(e_1),\phi(e_3) )\) espressi nella base \(B_W\)

Riducendo a scalini come faccio io, cambio base allo spazio di partenza e trovo una base \( B'_V= ( a_1, a_2,a_3,a_4,a_5) \)
tale che la matrice associata a \( \phi \) in rapporto alle basi \( B'_V \) e \(B_W\) è
\( \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 &0\\
0& 1 & 0 & 0 & 0\\
-1/2& 5/2& 0& 0 &0 \\
1/2& 1/2& 0& 0& 0
\end{pmatrix} \) ovvero significa che
\( \phi(a_1)= f_1 - \frac{1}{2}f_3 + \frac{1}{2}f_4 \);
\( \phi(a_2)= f_2 + \frac{5}{2}f_3 + \frac{1}{2}f_4 \) ;
\( \phi(a_3)= 0 \) ;
\( \phi(a_4)= 0\) ;
\( \phi(a_5)= 0\) ;

E dunque trovo che una base di \( \operatorname{Im}(\phi) \) è \( B_{\operatorname{Im}(\phi)}=( f_1 - \frac{1}{2}f_3 + \frac{1}{2}f_4, f_2 + \frac{5}{2}f_3 + \frac{1}{2}f_4 )=(\phi(a_1),\phi(a_2) )\)