Trovare l'equazione di una parabola ad asse obliquo fissati 2 punti, vertice e un altro punto sull'asse della parabola
Ciao a tutti,
mi chiamo Luca, ho 31 anni e frequento la facoltà di Ingegneria Civile a Firenze. Sono alle prese con la mia tesi di laurea che riguarda la progettazione di un ponte ad arco a via inferiore ed ho un problema nel riuscire a trovare l'equazione della forma del mio ponte. Dato che la forma ottimale da conferire all'arco di un ponte (caricato simmetricamente) è una parabola ad asse verticale, mi sono trovato in maniera rapida l'equazione della parabola ad asse verticale che passa per 3 punti, le cui coordinate, sul piano cartesiano (x;y) sono:
- appoggio 1 = (0;0)
- vertice = (35;7)
- appoggio 2 = (70;0).
Quello che vorrei fare è spostare il vertice della parabola dal centro ed avvicinarlo ad uno dei due appoggi, in maniera tale da ottenere (ad esempio):
- appoggio 1 = (0;0)
- vertice = (10;7)
- appoggio 2 = (70;0).
Adesso non vale più la formula usata per la parabola con asse verticale, poiché il mio asse è obliquo e passa per i punti (10;7) e (35;0), da me imposti. Sono circa 3 giorni che cerco su siti e forum un argomento simile ma non ho trovato nessuna risposta simile a quello che potrebbe darmi lo spunto per risolvere il problema, per cui le domande a cui spero possiate rispondere sono queste:
- è possibile trovare l'equazione di una parabola ad asse inclinato che passa per 3 punti (di cui 1 è il vertice), dato anche un secondo punto che si trova sull'asse della parabola stessa? Se sì, qual è il procedimento da seguire? E' possibile trovarla in generale anche se l'ascissa del vertice è negativa?
Per fare un esempio, date le coordinate seguenti sul piano cartesiano (x;y):
- punto 1 = (0;0)
- vertice = (10;7), primo punto dell'asse della parabola
- punto 2 = (70;0)
- secondo punto dell'asse della parabola (35;0)
Un altro esempio potrebbe essere:
Per fare un esempio, date le coordinate seguenti sul piano cartesiano (x;y):
- punto 1 = (0;0)
- vertice = (-3;12), primo punto dell'asse della parabola
- punto 2 = (70;0)
- secondo punto dell'asse della parabola (50;0)
Vi ringrazio da adesso per disponibilità.
Un saluto, Luca.
mi chiamo Luca, ho 31 anni e frequento la facoltà di Ingegneria Civile a Firenze. Sono alle prese con la mia tesi di laurea che riguarda la progettazione di un ponte ad arco a via inferiore ed ho un problema nel riuscire a trovare l'equazione della forma del mio ponte. Dato che la forma ottimale da conferire all'arco di un ponte (caricato simmetricamente) è una parabola ad asse verticale, mi sono trovato in maniera rapida l'equazione della parabola ad asse verticale che passa per 3 punti, le cui coordinate, sul piano cartesiano (x;y) sono:
- appoggio 1 = (0;0)
- vertice = (35;7)
- appoggio 2 = (70;0).
Quello che vorrei fare è spostare il vertice della parabola dal centro ed avvicinarlo ad uno dei due appoggi, in maniera tale da ottenere (ad esempio):
- appoggio 1 = (0;0)
- vertice = (10;7)
- appoggio 2 = (70;0).
Adesso non vale più la formula usata per la parabola con asse verticale, poiché il mio asse è obliquo e passa per i punti (10;7) e (35;0), da me imposti. Sono circa 3 giorni che cerco su siti e forum un argomento simile ma non ho trovato nessuna risposta simile a quello che potrebbe darmi lo spunto per risolvere il problema, per cui le domande a cui spero possiate rispondere sono queste:
- è possibile trovare l'equazione di una parabola ad asse inclinato che passa per 3 punti (di cui 1 è il vertice), dato anche un secondo punto che si trova sull'asse della parabola stessa? Se sì, qual è il procedimento da seguire? E' possibile trovarla in generale anche se l'ascissa del vertice è negativa?
Per fare un esempio, date le coordinate seguenti sul piano cartesiano (x;y):
- punto 1 = (0;0)
- vertice = (10;7), primo punto dell'asse della parabola
- punto 2 = (70;0)
- secondo punto dell'asse della parabola (35;0)
Un altro esempio potrebbe essere:
Per fare un esempio, date le coordinate seguenti sul piano cartesiano (x;y):
- punto 1 = (0;0)
- vertice = (-3;12), primo punto dell'asse della parabola
- punto 2 = (70;0)
- secondo punto dell'asse della parabola (50;0)
Vi ringrazio da adesso per disponibilità.
Un saluto, Luca.
Risposte
Nel primo caso, non esiste nessuna parabola che soddisfi le richieste.
Infatti il punto $(0,0)$ giace nel semipiano opposto a $(70,0)$ rispetto alla retta tangente alla parabola nel vertice $(10,7)$; visto che la parabola è una curva convessa, essa giace interamente in uno solo dei semipiani in cui ogni sua tangente divide il piano... Dunque hai una dimostrazione spianata davanti a te.
Nel secondo caso, nemmeno esiste una parabola che soddisfi le richieste.
Il motivo è sempre la convessità della curva, unita alla simmetria. Con i dati assegnati, la parabola dovrebbe passare per il vertice, per il punto simmetrico di $(0,0)$ rispetto all’asse e per $(70,0)$; ma se guardi la tua curva nel sistema di riferimento che ha origine nel vertice, asse delle ordinate sull’asse della parabola ed ascisse lungo la tangente nel vertice, vedi che la curva non può essere convessa... Ed hai di nuovo spianata una dimostrazione per assurdo.
Infatti il punto $(0,0)$ giace nel semipiano opposto a $(70,0)$ rispetto alla retta tangente alla parabola nel vertice $(10,7)$; visto che la parabola è una curva convessa, essa giace interamente in uno solo dei semipiani in cui ogni sua tangente divide il piano... Dunque hai una dimostrazione spianata davanti a te.
Nel secondo caso, nemmeno esiste una parabola che soddisfi le richieste.
Il motivo è sempre la convessità della curva, unita alla simmetria. Con i dati assegnati, la parabola dovrebbe passare per il vertice, per il punto simmetrico di $(0,0)$ rispetto all’asse e per $(70,0)$; ma se guardi la tua curva nel sistema di riferimento che ha origine nel vertice, asse delle ordinate sull’asse della parabola ed ascisse lungo la tangente nel vertice, vedi che la curva non può essere convessa... Ed hai di nuovo spianata una dimostrazione per assurdo.
Ciao gugo82,
ti ringrazio per l'esaustiva e rapidissima risposta che mi hai dato.
Avevo provato anche a disegnare su Autocad punti e forme nella speranza di trovare una soluzione. Da quello che ho capito della tua spiegazione potrei provare così:
- fisso due punti, l'asse obliquo della parabola e di conseguenza trovo la posizione del vertice.
Questa strada penso sia percorribile graficamente, pensi che possa esserlo anche analiticamente?
Ti ringrazio ancora per averm dato la chiave che non riuscivo a trovare.
Un saluto, Luca.
ti ringrazio per l'esaustiva e rapidissima risposta che mi hai dato.
Avevo provato anche a disegnare su Autocad punti e forme nella speranza di trovare una soluzione. Da quello che ho capito della tua spiegazione potrei provare così:- fisso due punti, l'asse obliquo della parabola e di conseguenza trovo la posizione del vertice.
Questa strada penso sia percorribile graficamente, pensi che possa esserlo anche analiticamente?
Ti ringrazio ancora per averm dato la chiave che non riuscivo a trovare.
Un saluto, Luca.
Prova, ma il problema mi pare indeterminato.
Si vede che, fissato l'asse e due punti, non credo ci sia sempre solo una parabola che puoi costruire (quando pure c'è).
Ad ogni buon conto, non vedo come una parabola fatta come dici tu possa essere in qualche modo utile per risolvere un problema di statica... Ma le forme ottimali di questi ponti non erano catenarie? (Cfr. Gateway Arch di St. Louis, Missouri)
Si vede che, fissato l'asse e due punti, non credo ci sia sempre solo una parabola che puoi costruire (quando pure c'è).
Ad ogni buon conto, non vedo come una parabola fatta come dici tu possa essere in qualche modo utile per risolvere un problema di statica... Ma le forme ottimali di questi ponti non erano catenarie? (Cfr. Gateway Arch di St. Louis, Missouri)
La forma migliore dell'arco che si oppone ad un carico uniformemente distribuito è proprio una parabola che ha il coefficiente che moltiplica x^2 negativo, cioè una parabola "parabola rivolta verso il basso", opposta a quella dello schema del momento che è una parabola "rivolta verso l'alto". Se però il carico non è uniformemente distribuito cambia tutto.
La catenaria è il comportamento che ha la fune, non c'entra con i ponti ad arco. La catenaria ha a che fare, tra le altre cose, con le funi usate per i ponti sospesi.
Grazie per le dritte.
La catenaria è il comportamento che ha la fune, non c'entra con i ponti ad arco. La catenaria ha a che fare, tra le altre cose, con le funi usate per i ponti sospesi.
Grazie per le dritte.
"gugo82":
Prova, ma il problema mi pare indeterminato.
Mi pare che il problema risulti indeterminato solo quando i due punti siano simmetrici rispetto all'asse. Altrimenti: impossibile se la congiungente i due punti è perpendicolare all'asse e determinato se non lo è (parabole degeneri incluse).
Ciao
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