Esercizi di Topologia

[anto_zoolander]

Ciao!

Ho i seguenti esercizi senza soluzione:

1. siano $(X,tau)$ spazio topologico e \( \mathcal{F} \) un ricoprimento di $X$

se \( \bigcup_{F \in \mathcal{F} }F^° =X \) allora \( \mathcal{F} \) è un ricoprimento fondamentale

in sostanza si deve soltanto dimostrare che se $UcapF$ è aperto in $F$ per ogni insieme del ricoprimento, allora $U$ è aperto in $X$

Chiaramente posto \( \mathcal{F}^° = \{ F^° \space | \space F \in \mathcal{F} \} \) si ha un ricoprimento aperto e quindi fondamentale.

da cui se $UcapF in tau_F$ allora $(UcapF)capF^°$ è aperto in $tau_(F^°)$ rispetto alla topologia indotta da $F$ su $F^°$(che coincide con quella indotta da $X$). Poichè $(UcapF)capF^°=Ucap(FcapF^°)=UcapF^°$ allora $U$ è anche aperto in $tau_(F^°)$. Quindi essendo $U$ aperto in $F^°$ per ogni $F$ del ricoprimento si ha che $U in tau_X$, ossia $F$ è fondamentale

2. sia $(X,tau)$ spazio topologico e $f$ un ricoprimento aperto di $X$: l'insieme $B={A in tau | existsF inf(AsubsetF)}$ è una base per la topologia

io ho mostrato che $B$ coincide con l'insieme $K={AcapF | A in tau, F in f}$

in quanto se $A in B$ allora esiste un $F in f$ tale che $AsubsetF$ da cui $A=AcapF$ con $A in tau, F in f$ quindi $AcapF in K => A in K$

se $S in K$ allora $S=AcapF$ e siccome $A,F$ sono aperti allora $AcapF$ è aperto e contenuto in $F$ quindi $S=AcapF in B$ da cui $K=B$

inoltre se $A$ è aperto in $X$ allora $A=AcapX=Acap bigcup_(F in f)F=bigcup_(F in f)(AcapF)$

quindi è effettivamente una base

cosa ve ne pare?

[anto_zoolander]

Hai ragione è $UcapF^°$ che è aperto per ogni $F$ da cui poi uso l’essere fondamentale.