Esercizio Matrice Simmetrica
Ciao a tutti,
Vi scrivo perchè sono in difficoltà: ho trovato un esercizio di cui trovo complicata, oltre alla risoluzione, anche la comprensione.
L'esercizio è il seguente:
Sia B diverso da 0 appartenente a R^3. Si consideri la matrice 3x3 data da: $ A= B B^t . $
Determinare rango di A, dire se è diagonalizzabile, determinare autovalori e autovettori. A ammette una base ortonormale di autovettori? Se sì determinarla nel caso B= (2,1,-1). Dire se A definisce un prodotto scalare in R^3.
Se riusciste a farmelo capire e risolvere, ve ne sarei grato!
Buona serata
Vi scrivo perchè sono in difficoltà: ho trovato un esercizio di cui trovo complicata, oltre alla risoluzione, anche la comprensione.
L'esercizio è il seguente:
Sia B diverso da 0 appartenente a R^3. Si consideri la matrice 3x3 data da: $ A= B B^t . $
Determinare rango di A, dire se è diagonalizzabile, determinare autovalori e autovettori. A ammette una base ortonormale di autovettori? Se sì determinarla nel caso B= (2,1,-1). Dire se A definisce un prodotto scalare in R^3.
Se riusciste a farmelo capire e risolvere, ve ne sarei grato!
Buona serata
Risposte
Ciao Claudio, per favore evita di postare gli esercizi così, per vari motivi; in particolare, se posti così il motore di ricerca non ti indicizza e diventa impossibile trovare il post in futuro. Inoltre, tra qualche anno il link a quell'immagine cesserà di funzionare e così questo post sarà completamente da buttare. Usa il compilatore delle [formule][/formule] (clic).
Comunque, uno spunto: per un generico vettore \(x\in\mathbb R^3\), calcola \(Ax\). Nota che \(Ax\) è un multiplo scalare di \(B\), quindi il rango di \(A\) è...
Comunque, uno spunto: per un generico vettore \(x\in\mathbb R^3\), calcola \(Ax\). Nota che \(Ax\) è un multiplo scalare di \(B\), quindi il rango di \(A\) è...
Ciao Dissonance, ti ringrazio per il consiglio!! Venerdì 21, quando tornerò a casa, modificherò i post
"dissonance":
Ciao Claudio, per favore evita di postare gli esercizi così, per vari motivi; in particolare, se posti così il motore di ricerca non ti indicizza e diventa impossibile trovare il post in futuro. Inoltre, tra qualche anno il link a quell'immagine cesserà di funzionare e così questo post sarà completamente da buttare. Usa il compilatore delle [formule][/formule] (clic).
Comunque, uno spunto: per un generico vettore \(x\in\mathbb R^3\), calcola \(Ax\). Nota che \(Ax\) è un multiplo scalare di \(B\), quindi il rango di \(A\) è...
Ciao! Ho provato a seguire la tua dritta. Il fatto che moltiplicando un generico vettore X per A mi dia un multiplo di X, significa che la matrice A può essere associata ad un prodotto scalare?
Se questo è corretto, ciò significa che A è diagonalizzabile e che tutti i suoi autovalori sono positivi. Qual è il legame con il rango? Ma soprattutto, come faccio a determinare autovalori ed autovettori senza avere neanche un valore della matrice?
Sorry ma non ci arrivo!
$AB=BB^TB=lambda*B$ dove $lambda=B^TB$ ovvero la norma di B al quadrato, ovvero la somma dei quadrati delle componenti di B.
E questo ti dice che B è l'autovettore associato all'autovalore di cui sopra.
Per quanto riguarda il rango, una volta calcolata A è immediato vedere che con Gauss è possibile ridurla nella forma:
$ ( ( b_1 , b_2 , b_3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi ha rango 1 e il secondo/terzo autovalore devono essere zero. Gli autovettori associati a $lambda=0$ sono la base del kernel della matrice A $ ( ( -b_2 ),( b_1 ),( 0 ) ) $ e $ ( ( -b_3 ),( 0 ),( b_1 ) ) $ ortogonali allo spazio delle righe che è generato appunto da B, quindi sono ortogonali a B.
Non sono però ortogonali fra di loro ma nessuno ci vieta di scegliere una base ortogonalizzando i due vettori usando Gram-Schmidt.
$A$ definisce un prodotto scalare in $R^3$? Hai tutti gli elementi...
E questo ti dice che B è l'autovettore associato all'autovalore di cui sopra.
Per quanto riguarda il rango, una volta calcolata A è immediato vedere che con Gauss è possibile ridurla nella forma:
$ ( ( b_1 , b_2 , b_3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi ha rango 1 e il secondo/terzo autovalore devono essere zero. Gli autovettori associati a $lambda=0$ sono la base del kernel della matrice A $ ( ( -b_2 ),( b_1 ),( 0 ) ) $ e $ ( ( -b_3 ),( 0 ),( b_1 ) ) $ ortogonali allo spazio delle righe che è generato appunto da B, quindi sono ortogonali a B.
Non sono però ortogonali fra di loro ma nessuno ci vieta di scegliere una base ortogonalizzando i due vettori usando Gram-Schmidt.
$A$ definisce un prodotto scalare in $R^3$? Hai tutti gli elementi...
Super! Sei stato chiarissimo!
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