Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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salve ragazzi, siccome da programma studiamo solo dei "cenni" sugli spazi di banach e hilbert, molte cose sono trascurate o spiegate non dettagliatamente, di conseguenza mi vengono dei dubbi:
la prof ci ha fornito l'esempio dello spazio vettoriale di funzioni continue in un compatto $( C^0 [a,b] ) $ , per semplicità funzioni reali ma il discorso si estende a quelle complesse, di dimensione infinita dunque le norme definibili per questo spazio NON sono equivalenti e infatti lo stesso spazio ...
Salve ragazzi, mi sembra questa sezione del forum la parte più adatta per porre i miei interrogativi.
Cerco di essere il più breve possibile:
Secondo voi è possibile fare seria attività di ricerca in ambito medico/scientifico/farmaceutico ecc... avendo poche basi di matematica?
Quanto è importante la matematica nella ricerca scientifica?
Varie facoltà che possono essere destinate alla ricerca scientifica, come per esempio un corso di laurea in biologia, fanno solo qualche accenno di ...
\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle T:X\to Y \) un operatore lineare limitato. Dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{R}(T) \) non è necessariamente chiuso in $Y$.
Siano \(\displaystyle x=\{\xi\} \) e \(\displaystyle y=\{\eta_j\} \) due elementi di \(\displaystyle l^{\infty} \) dotato della norma \(\Vert \cdot\Vert=\sup_j|\cdot_j| \). [strike]Usando un suggerimento che dà il testo,[/strike] considero l'operatore \(\displaystyle T:l^{\infty}\to l^{\infty} \) tale che ...
Ciao a tutti!!!
Potreste aiutarmi a risolvere quest'integrale?
$\int_{0}^{l}\sin((kx\pi)/l)\cdot \delta(x-(l/2)) dx$
Grazie in anticipo a tutti!
salve a tutti, dato il seguente esercizio
"determinare la successione definita per ricorrenza della legge
$ { ( x(n+1)-x(n) = a_n ;n>=0),( x(0)=0 ):} $
con
$ a_n={ ( -1;n=0),( cos(npi);n>0 ):} $ "
il procedimento è sempre standard: Z-trasformata di entrambi i membri, isolo quella della successione $ x(n) $ trovandomi un'espressione in funzione di $ zinC $ e di questa faccio la Z-antitrasformata.
il problema è che non riesco a calcolare la Z-trasformata di $ a_n $, o meglio mi trovo espressioni diverse a ...
salve a tutti, a fronte di un esercizio che mi pare non risolvibile, mi chiedo vi sono condizioni che dimostrino l'esistenza o la NON-esistenza dell'antitrasformata di una funzione.
"determinare l'antitrasformata di laplace $ x(t) $ per la funzione "
$ X(s) = (sin(2s))/(s^4+i); Re(s) > 1 $
mio procedimento:
$ X(s)=1/(s^4+j)*sin(2s)=g(s)*sin(2s)=g(s)*e^(2is)/(2i)-g(s)*e^(-2is)/(2i) $
avrei poi diviso in fratti semplici la $ g(s) $ e sfruttato la proprietà di traslazione in t della trasformata di laplace data la presenza dell'esponenziale così da ...
Ciao ragazzi. Posto qualche altro esercizio per vedere cosa c'è da sistemare. Tra parentesi: spero non ci sia un limite al numero di post che posso pubblicare di fila (anche se forse c'è alla vostra pazienza). Poi la sezione di analisi superiore è un po' scarna, mi mette a disagio comunque:
\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle f\ne 0 \) un funzionale definito su uno spazio vettoriale $X$ e \(\displaystyle x_0\in X\setminus\mathcal{N}_f \), dove \(\displaystyle ...
Questo è un esercizio molto standard che però, secondo me, tocca diversi aspetti della teoria. Non so quanti frequentatori del forum stiano preparando un esame di analisi reale / funzionale ma penso che possa essere utile. Insomma, non voletemene se non vi piace
Esercizio
Sia \( X = C([-1,1]) \) dotato della norma del massimo. Sia \( T: X \to X \) definito come
\[ Tu(t) = \int_{-1}^t \frac{2s}{1+s^2} u(s) ds \quad \quad u \in X \]
1. Dimostrare che $T$ è lineare e continuo. ...
Ciao, mi piacerebbe se qualcuno potesse controllare la correttezza di questi esercizi:
\(\displaystyle \bullet \) Trova la costante \(\displaystyle c \) più grande nella relazione \(\Vert \sum_n\alpha_nx_n\Vert\ge c\sum_n|\alpha_n| \) per un insieme di vettori linearmente indipendenti \(\displaystyle \{x_1,...,x_n\} \) nel caso \(\displaystyle X=\mathbb{R}^2, x_1=(1,0), x_2=(0,1) \).
In questo caso \(\Vert \sum_n\alpha_nx_n\Vert=\Vert (\alpha_1,\alpha_2)\Vert=(\alpha_1^2+\alpha_2^2)^{1/2} ...
Salve a tutti.
Ho svolto l'esame di metodi matematici e mi viene chiesto di auto-correggere il compito; ho un esercizio che mi manda un po' in confusione, il seguente:
considero la funzione: $ ha(x)=(2ia)/(x^2+a^2) $ , calcolare il limite nello spazio delle distribuzioni temperate, delle Ta per a che tende a zero (Ta sono le distribuzioni temperate di Tha).
Dovrebbe comparire un $ delta 0 $ ma non capisco proprio come faccia, qualcuno può aiutarmi?
Grazie per l'attenzione
Ciao, come vanno questi esercizi?
\(\displaystyle \bullet \) Un operatore lineare $T$ è limitato se e solo se manda insiemi limitati in insiemi limitati.
La prima implicazione dovrebbe essere semplice: se \(\displaystyle x\in A \), $A$ limitato, allora \(\displaystyle \| x\|\le M_x \); usando l'ipotesi di limitatezza di $T$, considero \(\displaystyle y\in\mathcal{R}(A) \): si ha \(\displaystyle \|y\|=\|Tx\|\le cM_x \), ovvero \(\displaystyle ...
Buonasera a tutti,
volevo chiedervi delucidazioni sulla risoluzione di questo integrale:
\[ \int_0^{+\infty} \frac{x^{1/4}}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \]
Purtroppo nello svolgimento mi trovo in difficoltà nel calcolo dei residui, uscendomi fuori come risultato finale un numero ben diverso da quello effettivo (controllato via risolutore online), che è:
\[ 3/16 \pi \sec(\pi/8)\]
Chiedo se qualcuno possa preventivamente aiutarmi nel capire lo svolgimento a grandi linee. Ringrazio in anticipo ...
Ciao a tutti,
sono bloccata su un determinato argomento e vorrei chiedere se qualcuno gentilmente mi sa aiutare.
Studiando l'interpolazione polinomiale, mi sono imbattuta in un quesito che non so risolvere: nel merito dei polinomi di Lagrange, si chiede di DIMOSTRARE che
>>> LA SOMMATORIA (per j=0 fino a j=n) DI Lj(x) E' UGUALE A 1
Buongiorno a tutti,
sto avendo difficoltà nel trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale:
$ a(d^2 y)/(d x^2)-b (d y)/(d x)-(ky)/(1+cy) = 0 $
dove $a,b,k,c$ sono costanti
Spero in un vostro aiuto o in un vostro suggerimento, grazie
Propongo un esercizio raccattato sul web.
Non ho ancora una soluzione... Ci lavorerò nei prossimi giorni.
***
Esercizio:
Per ogni $n in NN$, chiamiamo $T_n$ il funzionale definito in $L^oo(0, +oo)$ ponendo:
\[
T_nf := n\ \left( \int_0^1 x^n f(x)\ \text{d} x + \int_1^{+\infty} e^{-n x} f(x)\ \text{d} x\right)\; .
\]
1. Dimostrare che ogni $T_n$ è lineare e calcolarne la norma.
2. Esiste un funzionale lineare $T$ tale che \(T_n ...
Salve,
scrivo perchè ho un dubbio di analisi complessa che non riesco a risolvere:
avendo un integrale sul taglio di una multifunzione come
\[ \text{I} = \int_\text{-i}^\text{i} \frac{\sqrt{1+z^2}}{4+z^2}\ \text{d} z \]
la soluzione si trova ovviamente attraverso il metodo dei residui , chiudendo un cammino lungo il taglio, constatando che questo cammino varrebbe $\text{2I}$, quindi sommando tutti i residui fuori dal cammino scelto, anche quello all infinito, e dividendo quanto viene in ...
Salve ragazzi ho un problema col dimostrare la seguente proposizione:
"se una funzione $ f $ è analitica in un disco forato di $ z_0 $, quindi ivi sviluppabile in serie di Laurent di corefficienti $ C_n $ , sono equivaletni le seguenti:
1) $ z_0 $ singolarità eliminabile $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>0 $ ;
2) $ z_0 $ polo di ordine N $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>N $ ;
3) $ z_0 $ singolarità essenziale ...
Buon pomeriggio
Avrei dei dubbi riguardo quei tipi di esercizio in cui si richiede di determinare zeri e singolarità di una funzione complessa, eventualmente anche nel punto all'infinito.
Per esempio, data la funzione
$ (e^(2iz)-1)/(2z^2+ pi z - pi ^2) $
gli zeri sono da ricercare tra i punti che annullano il numeratore: $z= k pi$ al variare di $k$ in $Z$
Poiché le singolarità sono $ z=-pi (eliminabile), z =pi/2 (polo semplice) $, gli zeri sono di tipo $z = 2k pi$.
Per determinarne l'ordine, inizio ...
Ciao a tutti.
Vi sembra giusto il ragionamento/conto che ho fatto per determinare la derivata distribuzionale della funzione: \( f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb{R}\quad\text{tale che}\quad f(x)=\ln{|x|} \)
Con \( j:L^1_{loc}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathcal{D'}(\mathbb{R}) \) indico l'immersione delle funzioni localmente integrabili nello spazio delle distribuzioni.
Osserviamo che $f$ è una funzione localmente integrabile perché $f$ continua ...
Salve! Durante una simulazione d'esame mi è capitato il seguente quiz:
"Sia [geogebra]f(z) = 1/(3z) + g(z)[/geogebra]. g(z) ha un polo semplice in z=0. Allora certamente:"
a. f(z) ha un polo semplice in z=0
b. f(z) non ha un polo doppio in z=0
c. Res(0) = 3
d. f(z) non è derivabile in z=0
La risposta corretta è la b. Ma sinceramente non me lo spiego perchè se g(z) ha un polo semplice in z=0 e, data la risposa, non può avere sicuramente un polo doppio, allora vuol dire che g(z) può far ...
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