Analisi superiore

Salve a tutti, ho il seguente esercizio sul quale vorrei chiarire alcuni dubbi: (l'integrale è da considerare circolare) $int_Gamma(e^(1/z+1/z^2)/z)dz$ (#), $Gamma={zinCC$ tale che $|z|=1}$ Ora io so che se la funzione è analitica, essendo $z_0$ una singolarità finita, allora : (#)$=2piiRes(f(z), z_0)=-2pii Res(f(z),infty)=-2piiRes(-1/z^2*f(1/z), z_0)$ La mia domanda è: come si stabilisce a livello pratico se una funzione è analitica? Grazie in anticipo.

Ciao a tutti ragazzi. Mi trovo davanti al seguente problema, che si tratta di risolvere il seguente sistema di PDE: $ \frac{\partial}{partial t} ( \frac{\partial w}{\partial z} ) = ( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} ) \frac{p}{\rho} $ $ \frac{d^2 w}{d t^2} = - \frac[1}{\rho} \frac{d}{dt} (\frac{\partial p}{\partial z}) - N^2w $ dove $ \frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + U \frac{\partial}{\partial x} + V \frac{\partial}{\partial y} $ con $ w = w(x,y,z,t) $ e $ p = p(x,y,z,t) $ mentre $U$, $V$, $\rho$ e $N^2$ sono costanti. Abbiamo quindi due equazioni in due incognite. Per risolvere queste due equazioni é stato usato il metodo di separazione di variabili, quindi é stato posto ...

Ciao, stavo facendo un esercizio che dice Mostrare che l'equazione di Bessel $$xR'' + R' + \left( \lambda x - \frac {n^2} x \right) R = 0$$ per $x \in (0, 1)$ è un problema di Sturm-Liouville singolare, per il quale gli autovalori sono positivi [...] Una domanda magari scema: in questo caso devo chiedere che la soluzione si annulli per $x=1$ altrimenti non posso concludere che gli autovalori sono positivi o dico una ...

Propongo il seguente (a mio parere sconvolgente) esercizio di analisi funzionale: Produrre un esempio di uno spazio normato \( (X, \| \cdot \| ) \) e di una funzione \[ f: B \to \mathbb{R} \] continua e non limitata, ove \( B := \overline{ \{ x \in X \mid \| x \|

Ho trovato la seguente Proposizione Sia $$\mu := \mathcal{L}^1 \big|_{[0,1]} $$ e $1<p< \infty$. Consideriamo la successione di funzioni \( \{f_h \}_{h>0} \subset L^p(\mathbb{R}, \mu) \) dove $f_h(x)=f(hx)$ con $$ f(x) := \begin{cases} 1 \quad & \text{ if } \quad 0 \le \{x\} < \frac{1}{2} \\ -1 \quad &\text{ if } \quad \frac{1}{2} \le \{x\} < 1 \end{cases}$$ dove $\{x\}$ è la parte frazionaria di ...

Buonasera, facendo la classificazione delle eq. Diff. Alle derivate parziali abbiamo introdotto le curve caratteristiche, ma non ho ben capito a cosa serve trovare queste curve caratteristiche per determinare la soluzione dell'eq. Differenziale. Grazie in anticipo. P.s: se fosse possibile non vorrei una descrizione matematica, ma pratica del perché serve trovarle

Ciao a tutti, vorrei controllare on voi la correttezza della costruzione che implica quanto espresso nel titolo. In particolare mi preme sapere che ogni passaggio sia corretto, visto che di questa dimostrazione ho visto solo uno "sketch" E' noto dalla teoria che va mostrato l'esistenza di un funzionale $T \in (L^{\infty}(\Omega))'$ per cui non esiste $v \in L^1(\Omega)$ tale che $T(u) = \int_{-1}^{1} u(x)v(x) dx, \forall u \in L^{\infty}(\Omega)$ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ...

Ciao, Consideriamo l'equazione di Laplace per una funzione $f$ e mettiamo le condizioni al bordo sulla derivata prima. Tipo $$ f'_{\text{bordo}} = g $$ dove $g$ è una funzione nota. Mi stavo chiedendo che proprietà "minime" deve avere $g$; ad esempio, puoessere discontinua? O non derivabile? A intuito direi di no, ma vorrei conferma. Grazie in anticipo.

Salve, è da giorni che sto provando a svolgere il seguente esercizio: Trovare il numero di soluzioni di ln(z+3)+z=0 nel disco unitario centrato in 0. Il problema che ho riscontrato è che il logaritmo sulla circonferenza unitaria centrata in 0 assume sia valori maggiori che minori di uno. Grazie

salve ragazzi c'è un esercizio che proprio non riesco a risolvere, devo calcolare il seguente integrale nel campo complesso: $ int_(|z-1/2|=1)^() (1-cos(2piz))/((z^2-1)^3(2z-1))dz $ mostro il procedimento che ho fatto: le singolarità della funzione integrada sono: $ z=1/2; z=+- 1 $ delle quali scarto $ z= -1 $ poichè fuori dal dominio dell'integrale procedo con la classificazione delle singolarita e trovo che $ z = 1/2 $ è una singolarità polare del 1° ordine mentre $ z = 1 $ è una singolarità polare ma ...

Buongiorno a tutti, vorrei chiedervi qualche delucidazioni su questo integrale: $\int_0^1 ln((x^2+sqrt(3)x+1)/(x^2-sqrt(3)x+1)) dx/x$ Non ho idea neanche sul se posso utilizzare il metodo dei residui, ed in caso affermativo quale cammino utilizzare. Qualcuno può darmi un punto da cui partire?

Buonasera forumisti, stavo riordinando i miei appunti, e ho notato che non ho provato che $(l^{\infty}, || \cdot ||_{l^{\infty}})$ è uno spazio di Banach. Non volevo cercare dimostrazioni su internet, perché penso che sia abbastanza sulla falsa riga del caso $p$ finito. Dim: Sia $\mathbb{K}= \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ Innanzitutto, tale spazio è normato, e il fatto che $|| \cdot ||_{l^{\infty}}$ sia una norma è noto (le prime due proprietà sono banali, la terza è la disuguaglianza di Minkowski). Resta da ...

Salve, stavo svolgendo questa tipologia di esercizi: ''Classificare le singolarità isolate e stabilire se la funzione è olomorfa intorno al punto infinito e nel caso affermativo classificarlo''; ho diversi dubbi per quanto riguarda la classificazione all'infinito, alcuni li ho svolti e vorrei un'eventuale conferma, altri invece non so come ragionare 1) $f(z)=tanz$ qui classifico le singolarità del denominatore, avendo $(senz)/cosz$ ottengo $z=pi/2+kpi$ e la mia risposta è che ...

Buon pomeriggio forumisti. In generale, dato un funzionale lineare $T$ bounded su un sottospazio $Y$ di uno spazio normato $(X, || \cdot ||)$, l'estensione $\tilde{T}$ data dal thm. di Hahn Banach non è unica, ed esistono classici controesempi. Come esercizio, dovrei mostrare che "Esercizio":se $Y$ è un sottospazio denso di $X$, allora l'estensione è unica Essendo molto veloce, non ho voluto cercare ...

Visto che si è generata una discussione con vari risvolti, propongo il seguente: Esercizio. Sia \( \mathcal{H} \) uno spazio di Hilbert reale o complesso. Dato \( \mathcal{H}'\) sottospazio di \( \mathcal{H} \), mostrare senza far uso del teorema di Hahn-Banach che ogni funzionale lineare e continuo su \( \mathcal{H}' \) si estende ad un funzionale lineare e continuo su \( \mathcal{H} \) (con lo stesso bound). Side quest. L'estensione è unica? Hint: Teorema di rappresentazione di Riesz.

Nei problemi di elettrodinamica ci si imbatte spesso nell'equazione di Helmholtz non omogenea, $$(\nabla^2+k^2) f(\textbf{x}) = s(\textbf{x}) $$ dove in genere $f$ rappresente un potenziale e $s$ una densità di corrente. Per risolverla, si applica di solito il metodo della funzione di Green; ovvero si trova una funzione $G(x,x')$ tale che $$(\nabla^2+k^2) G(\textbf{x},\textbf{x'}) = \delta(\textbf{x}-\textbf{x'}) ...

Salve a tutti, Ho iniziato da poco di studiare Analisi complessa e guardando un esercizio svolto del prof mi sono sorti alcuni dubbi. Bisogna studiare le singolarità della funzione $f(z)=(z-sqrtpi)/(sen(z^2))$ I punti di singolarità sono $z=0$, $z=+-sqrt(kpi)$ Ora, quando va a studiare $z=+-sqrt(kpi)$ viene: $lim_(z->+-sqrt(kpi))((z-sqrtpi)/(sen(z^2))*(z-(+-sqrt(kpi))))=(+-sqrt(kpi)-sqrtpi)*1/(2(+-sqrtkpi)(-1)^k)$ Quello che non capisco è l'ultimo passaggio, dove ho presunto abbia applicato De L'Hopital, ma la derivata del numeratore, ovvero $(z-sqrtpi)*(z-(+-sqrt(kpi)))$, non verrebbe ...

Considero una funzione $u(t,x)\inC^2(RR^+ \times RR^n)$ e fisso $t_0\inRR^+$, $x_0 \in RR^n$ e $c\inRR$. Definisco $e(t)=1/2\int_{B(x_0,c(t_0-t))} \{u_t^2+c^2\abs{\nablau}^2 \} dx$ per $t\in[0,t_0]$, dove $B(x_0,c(t_0-t))$ è la palla di centro $x_0$ e raggio $c(t_0-t)$. Come posso provare che $e'(t)= \int_{B(x_0,c(t_0-t))} \{u_t u_{t t} + c^2 \nablau \nabla u_t \} dx -c/2 \int_{\partial B(x_0,c(t_0-t))} \{u_t^2+ c^2 \abs{\nablau}^2 \} dx$?

Salve a tutti, avrei bisogno di un piccolo aiuto. Sto facendo un esercizio e nel testo ad un certo punto mi dice di usare la seguente identità: \[e^{-2i\gamma t} J_{\left|n\right|}(2\gamma t) = e^{\frac{\pi i}{2}} \sum_{k=|n|}^{\infty} \frac{(-i\gamma t)^k}{k!}\binom{2t}{k-n}\] Ora, tralasciando le varie costanti, non riesco a trovare questa identità da nessuna parte. L'unica che penso si possa avvicinare è questa che ho trovato: \[ J_\nu(z)=\sum_{n=0}^{\infty} ...

Domanda veloce: il duale di uno spazio di Banach uniformemente convesso è uniformemente convesso? Vale l'inverso (cioè se il duale è uniformemente convesso, anche lo spazio è uniformemente convesso) ?