Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Buongiorno,
Ho problemi nel dimostrare che una misura $\mu$ sia $\sigma$-finita.
Io conosco la seguente definizione:
Sia X un insieme non vuoto e $\M$ una $\sigma$-algebra. La misura $\mu$ si dice $\sigma$-finita su X se esiste una famiglia di Sottoinsiemi di X la cui unione (anche numerabile) coincide con X stesso e tale che la misura di ciascuno di questi sottoinsiemi sia finita.
Nel caso specifico, vi riporto l'esercizio che ...
Ho il seguente esercizio e non so come svolgerlo.
Si mostri che
$lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{\infty}(1+x/n)^(-n)x^(-n)dx=1$
Io ho provato a dividere l'intervallo da zero a uno e da uno a infinito e poi ad applicare qualche teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Non sono riuscito ad arrivare a nessun risultato e non credo neanche che sia la strada giusta visto che il limite della successione di funzioni integrande non mi pare in grado di poter soddisfare la tesi. Qualcuno sa darmi una mano? Grazie
Esercizio:
Sia \(g \in C([0,2])\) una funzione non negativa, i.e. $g(x)>=0$ in $[0,2]$.
Posto:
\[
Gf := \int_x^{2-x} f(t)g(t)\ \text{d} t\; ,
\]
1. provare che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^oo(0,2)$ in sè e calcolarne la norma operatoriale;
2. provare che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^1(0,2)$ in sè e calcolarne la norma operatoriale.
3. Si può dire che $G$ è un operatore lineare continuo di ...
Ciao ragazzi , sto trovando difficoltà con questo esercizio non riesco a capire perchè pi/2 sia polo semplice e come si arriva a calcolare il residuo, la parte chi mi blocca è quella con la tangente non so proprio come trattarla, mi trovo che per il denominatore abbiamo in z=pi/2 un polo semplice e per (1-senz) z=pi/2 è uno zero di ordine 2 , ora come devo procedere con la tangente ?
questa la soluzione di wolfram:
anche provando con pi/2 come polo semplice ( anche se non ho capito come ...
Esercizio:
Dopo aver determinato per quali valori di $\lambda in \RR$ l'integrale:
\[
\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^\lambda\ (1+x)}\ \text{d} x
\]
risulta convergente (specificando se esso converge come integrale improprio, come integrale di funzione sommabile o come integrale a valor principale), calcolarne il valore con l'ausilio della Teoria dei Residui.
Esercizio:
Parte Reale
1. Determinare per quali $omega in RR$ è ben definita la funzione $F$ assegnata ponendo:
\[
F(\omega ) := \int_0^{+\infty} e^{-x^2}\ \cos (\omega x)\ \text{d} x \; .
\]
2. Sfruttare il Teorema della Convergenza Dominata per provare che $F$ è continua e derivabile quante volte si vuole nel suo dominio, nonché che le derivate si calcolano derivando rispetto ad $omega$ sotto il segno di integrale.
3. Sfruttando il fatto ...
Ciao a tutti, ho qualche problema con questa formula riportata nel libro "Handbook of Nonlinear partial differential equations" di Polyanin.
In particolare, nel mio caso specifico, i coefficienti $ a_1 $ , $ a_2 $ , $ b_1 $ e $ b_2 $ sono tutti pari a $0$. Mentre $f(w)=g(w) $ e in particolare $f(w)$ è un opportuno polinomio nella variabile $w$, che non penso serva specificare ma se ...
Propongo un esercizio che lascia aperta una questione.
Esercizio. Si consideri l'operatore di Volterra \( V : C([0,1]) \to C([0,1]) \) definito da \[ f \mapsto \int_0^x f(t) \, dt \qquad (*). \]Mostrare che è ben definito, lineare e continuo. E' compatto? Calcolare inoltre \( \| V \|\).
Si consideri poi \( U : L^2 ([0,1]) \to L^2 ([0,1]) \) definito come \( (*) \). Mostrare che è ben definito, lineare e continuo. E' compatto? Calcolare \( \| U \| \).
In particolare sarei curioso di vedere ...
L'esempio che solitamente si fa per evidenziare l'esistenza di funzioni integrabili secondo Lebesgue ma non secondo Riemann è la funzione di Dirichlet. Si tratta però di una funzione che è quasi ovunque uguale a una funzione Riemann-integrabile. La maggiore generalità dell'integrale secondo Lebesgue si ferma qui? Oppure esistono delle funzioni Lebesgue-integrabili che non siano quasi ovunque uguali ad una funzione Riemann-integrabile?
Buonasera! Un esercizio mi chiede di dimostrare che data $f(x,y)= \log(x^2+y^2)$ essa sia armonica ma che non esiste una funzione $g \in H(\Omega \setminus {0})$ tale che $\Re(g) = f$
Ho provato già che è armonica. Il mio problema è la seconda richiesta. Avevo pensato che il teorema che mi assicura l’esistenza di $g$ richiede che $\Omega$ sia semplicemente connesso, cosa non vera per $\Omega \setminus {0}$. Ma questo non basta per giungere alla tesi del teorema... come posso procedere?
Esercizio 1. Si risolva il seguente problema al contorno per l’equazione di Burger su un quadrante: ut(x,t) + u(x,t)ux(x,t) = 0 x > 0, t > 0 u(x,0) = 1 x > 0, u(0,t) = 0 t > 0
Salve a tutti,avrei una perplessità legata a questo problema.Ho risolto il problema a destra della bisettrice x=t,ma,ecco il busillis,studiando le caratteristiche passanti per l'asse t,che sto intendendo come asse delle ordinate, trovo che l'unica curva di livello è l'asse t stesso;mi sbaglio?In tal caso credo la ...
Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano a trovare un'isometria che renda il titolo vero; la metrica in questione è sempre \(\displaystyle d(x,y)=\begin{matrix}\max_{t\in I}\end{matrix}|x(t)-y(t)| \). L'unica cosa che ho in mente: trovare un modo per far sì che la massima distanza tra ogni coppia di funzioni sia raggiunta su \(\displaystyle (0,1) \) con una traslazione opportuna. Ma nel concreto non ho nulla... voi cosa potete dirmi?
Ciao, vorrei che deste un occhio anche a questi ultimi esercizi per oggi:
(i) Mostrare che \(\displaystyle (\mathbb{Z},d) \) con \(\displaystyle d(m,n):=|m-n| \) è uno spazio metrico completo.
Presa una successione di Cauchy \(\displaystyle x_n \) di numeri interi, si ha \(\displaystyle d(x_n,x_m)=|x_n-x_m|
Ciao a tutti. Nello spazio $s$ delle successioni complesse (convergenti o meno) si definisce la metrica \[\displaystyle \mathrm{d}(x,y)=\sum_j^{\infty} \frac{1}{2^j}\frac{|\xi_j-\eta_j|}{1+|\xi_j-\eta_j|}. \] La dimostrazione della disuguaglianza triangolare funziona indipendentemente dal termine \(\displaystyle 1/2^j \), per cui mi chiedo: è vero che ad esso può essere scelto qualunque altro termine, a patto che la serie risulti convergente?
Buongiorno a tutti! Sono un paio di giorni che sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{cos(x)}{cosh(x)} $
Ho provato ad integralo nel campo complesso ed ad utilizzare i residui, ma non riesco comunque a venirne a capo. Qualcuno mi potrebbe aiutare? Grazie in anticipo a tutti coloro che mi risponderanno
Buon pomeriggio. Sto iniziando lo studio di Analisi Complessa.
Mi sono stati dati i seguenti due esercizi:
1) Mostrare che $\int_0^1 e^(tz) dt = f(z)$
2) Determinare tutte le funzioni $f$ olomorfe in $CC$ tali che $f' = f$.
Per il primo, avevo pensato a qualche cambiamento di variabile, ma non penso sia corretto.
Per il secondo, ho pensato di risolvere l'equazione differenziale, che mi restituiva l'esponenziale e la funzione nulla. Ma è lo stesso risultato che otterrei ...
Ciao. Come ben sappiamo nel dominio di Laplace la derivata di una funzione di t dipendente dal tempo diventa:
$y'(t)=d/dt y(t)$
$Y'(s)=s Y(s)$
La dimostrazione matematica mi é chiara, ma esiste un metodo piu' "intuitivo" per rendersene conto ?
Ad esempio é lecito pensare che s é una funzione lineare in un grafico x y in cui x é frequenza e y modulo ? in tal caso avro' un'amplificazione delle frequenze al salire delle stesse.
Filtrare e amplificare le altre frequenze mi da' l'idea di ...
Salve a tutti.
Ho appena appena iniziato a studiare l'analisi non standard, e mi trovo davanti ad un dubbio. Il testo che sto leggendo dice che gli elementi dell'insieme dei numeri iperreali si dividono in:
- infiniti negativi o positivi,
- numeri finiti, che possono essere:
- reali
- infinitesimi negativi o positivi
- iperreali finiti.
Ed è proprio questo "iperreali finiti" che non mi convince. Non dovrebbe esserci, al suo posto, qualcosa tipo "numeri non infinitesimi infinitamente ...
Qualcuno potrebbe spiegarmi il metodo per ricavare il laplaciano in coordinate cilindriche?
Trovo sempre la formula fatta e finita, ma mai il procedimento completo.
Dalla pagina di wikipedia non sono riuscito a venirne a capo. Grazie
Salve a tutti! Da poco ho iniziato a studiare per il corso di Analisi Complessa. Al momento sto cercando di avere un'infarinatura generale svolgendo alcuni esercizi basilari che ho trovato via web. Non mi sono chiari i passaggi evidenziati nello svolgimento del primo esercizio e non mi è chiaro per niente invece il secondo cioè non mi è chiaro il motivo per cui i tre insiemi coincidano sempre ( vale solo per questo esercizio o vale in generale? e perché?) e quali sono i passaggi che portano ...
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