Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Salve a tutti!
Incominciando lo studio di probabilità e statistica sono incalzato in un problema legato ai funzionali, ovvero il seguente:
Siano $X$ e $Y$ due variabili discrete, dato il funzionale $M$ t.c. la media di $K(X,Y)$ sia $M(K(X,Y))$, data la seguente ipotesi: $K(X,Y)= K1(X,Y)+...+Kn(X,Y)$ verificare che il funzionale $M$ Sia additivo, ovvero $M(K(X,Y))= M(K1(X,Y))+...+M(Kn(X,Y))$.
Spero di essere stato chiaro, grazie a chiunque possa darmi una ...
salve ragazzi, studiando la trasformata di fourier in $ L^2(mathbb(R)) $ in maniera propedeutica alla trasformata di Fourier per le distribuzioni temperate mi sono imbattuto in questa affermazione che ho sempre dato per scontato ma non riesco a capirne il motivo: "Sia $ f in L^2(mathbb(R)) $; poichè non è detto che $ f $ sia sommabile la definizione di trasformata di Fourier richiede una certa attenzione". La domanda è: perchè se $ f in L^2(mathbb(R)) $ non è necessariamente sommabile?
salve ragazzi, alla luce della proprietà della trasformata di Fourier secondo la quale se un segnale è reale è pari anche la sua trasformata sarà reale e pari, vi pongo questo esercizio della traccia dell'esame di metodi matematici:
"calcolare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico di periodo $ T = pi/3 $ della funzione:
$ x_0(t) = |sin(t)|[u(t+pi/6)-u(t-pi/6)] $ "
senza peccare di superbia sono abbastanza fiducioso di aver svolto meticolosamente tutti i calcoli, inoltre non ricordo ...
Salve a tutti, vi sarei veramente grato se come da titolo sapreste consigliarmi un testo che riesca a fornire una discreta conoscenza sulle equazioni differenziali a derivate parziali. Sono uno studente di ingeneria alla magistrale e, nonostate i vari esami di analisi e fisica matematica, questo argomento non è stato toccato da alcun corso. Ora nell'esame di modelli che mi trovo ad affrontare vengono date molte nozioni per scontate e vorrei poter avere un quadro più completo del problema. ...
Ciao, vorrei dimostrare la proposizione seguente senza teoria della misura:
sia $f:A \rightarrow \mathbb{C} $ una funzione continua di variabile complessa sull'aperto non vuoto $A$. Sia $w \in \mathbb{C}$ un parametro, e $w \mapsto f_w \in C^0 $. Allora per ogni curva $\gamma$ in $A$: $\frac{d}{d w} \int_{\gamma} f(z,w) dz = \int_{\gamma} f_w(z,w) dz $.
Dovrei dare ipotesi aggiuntive su $A, w$ e $\gamma$?
Comunque, io ho ragionato così:
chiamo $G(w)=\int_{\gamma} f(z,w) dz$. Allora $| G(w+h)-G(w)-h\int_{\gamma} f_w(z,w) dz |= | \int_{\gamma} f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w) dz |\leq |\gamma| \max_{z \in \gamma}|f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w)|$.
(Ho scritto ...
Vi posto una serie di proposizioni e i relativi dubbi a riguardo per fare un po' di ordine anche in mente
(TF = "trasformata di Fourier")
1) "la TF è un'applicazione biunivoca di $S(mathbb(R))$ in sè. Vale inoltre l'identità $ hat(hat(f))(-x) = (2pi)f(x) $ "
la dimostrazione fornitami mostra come $ hat(f) in S(mathbb(R)) $ ma non fa cenno alla biunivocità: per dimostrare la biunivocità non dovrei dimostrare suriettività e iniettività? se non è esplicitamente dimostrato in questi termini probabilmente è perchè è ...
Ciao garazzi
Oggi un esercizio in aula mi ha lasciato parecchio perplesso e comincio esponendo il testo:
sia $F$ la famiglia delle unioni finite di intervalli di $RR$ del tipo $[a,b)$ con $a<b$. Dimostrare che $F$ è un Algebra di $RR$
Secondo me questa non è un’algebra per vari motivi.
Una contraddizione la trovo già quì: supponiamo che $F$ sia un Algebra, allora $emptyset inF => emptyset^c=RR in F$ dunque esiste un ...
C'è un passaggio in una dimostrazione che sto studiando che non capisco.
La situazione è questa: sia $u$ funzione assolutamente continua in $[0,2\pi]$ tale che $u(0)=u(2\pi),\int_0^(2\pi)u(t)dt=0$ e $u'\in L^2(0,2\pi)$, inoltre per ogni $v$ con le stesse ipotesi, in più $v(0)=0$ si ha $\int_0^(2\pi)uvdt=\int_0^(2\pi)u'v'dt$.
Allora, dato che $u$ ha valore medio nullo, allora la condizione vale se prendiamo $v\in C_0^\infty(0,2\pi)$.
Ora io non capisco come vada utilizzato che ...
Ciao a tutti.
Vorrei chiedere chiarimenti su come andare avanti in questo esercizio. Il testo è:
Sia $theta_-$ l’operatore di traslazione a sinistra che agisce in $l_2(CC)$
$theta(x)=(x_2,x_3,x_4,...)$
Determinare lo spettro puntuale $sigma_p$ e continuo $sigma_c$ di $theta_-$
Per quanto riguarda lo spettro puntuale, questo è l'insieme degli autovalori di $theta_-$, ossia quei valori di $lambda$ per cui l'equazione $(lambdaI-theta_-)x=0$ ammette ...
Buongiorno a tutti.
Ho difficoltà nel risolvere questo esercizio.
Studiare il limite per $\n -> infty$ della successione di funzionali $F_n(varphi)=n^a int_RR e^(-n^2x^2)varphi(x)dx$ al variare di $a>0$.
Grazie mille per l'aiuto.
salve, sto studiando le distribuzioni da Metodi Matematici per L'ingegneria di Codegone e il medesimo di Barozzi più qualche appunto personale.
1) vorrei chiarire la questione riguardo la distribuzione $ <v.p. 1/t, phi(t)> $ : il funzionale generato è
$ int_(|t|<=r)(phi(t)-phi(0))/(t)dt $ quindi differisce dal funzionale generato da una qualsiasi funzione $ f in L'_(loc)( mathbb(R) ) $ per la presenza di $ phi(t)-phi(0) $ anzicchè solo di $ phi(t) $ per le funzioni localmente sommabili, e per l'intevallo di integrazione ...
Qualcuno ha qualche dispensa o appunto breve e soprattutto comprensibile su questa roba? In particolare vorrei arrivare a capire perché un elemento $Q in SO(3)$ si può scrivere come $Q=exp(epsilonq)$, dove $epsilon$ è l'indice di Ricci e q un qualche vettore di cui non ho capito la provenienza.
Ciao!
Ho iniziato teoria della misura e mi sono imbattuto in qualcosa che mi sta dando un grattacapo inutile.
Intanto parto dalla seguente definizione che userò:
sia $Omega$ un insieme e ${X_i}_(i in I)$ una famiglia di insiemi, allora si pone:
$bigcup_(i in I)X_i={x in Omega: exists k in I, x in X_k}$
$bigcap_(i in I)X_i={x in Omega: forallk in I, x in X_k}$
devo mostrare che:
$bigcap_(n in NN)(a-1/n, b)=[a,b)$
considera $0 notin NN$.
è chiaro che se $a<x<b$ basta prendere $n>1/(a-x)$. Ma se $x=a$ non mi viene nulla in mente, considerando ...
Ciao, vorrei proporre qualche altro esercizietto, stavolta su Fourier. Sono tratti da Fourier Analysis, G.B. Folland, spero sia un buon libro da sfogliacchiare. Comincio da questo:
i) Per \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \), dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{F}(e^{iax}f(x))=\hat f(\xi-a) \). Inoltre, per \(\displaystyle \delta>0 \) e \(\displaystyle f_{\delta}=\delta^{-1}f(x/\delta) \), si ha \(\displaystyle \hat{f_\delta}(\xi)=\hat f(\delta\xi) \) e \(\displaystyle \mathcal{F}f(\delta ...
Sto studiando le distribuzioni e le mie fonti sono "Metodi matematici per l'ingegneria" di Codegone, lo stesso ma di Barozzi e infine degli appunti. Prima di definire una distribuzione viene definita la "funzione test" ovvero un elemento del dominio $ D $ delle distribuzioni.
il mio problema è nella definizione della funzione test:
1. Codegone: infinitamente derivabile e nulla all'esterno di un sottoinsieme limitato di $ mathbb(R) $
2. Barozzi: di classe $ C^(oo)(mathbb(R)) $ e ...
Buongiorno,
studiando il libro di analisi 2 Fusco, Marcellini, Sbordone, sono incappato in un piccolo teorema che mi ha messo un po' in crisi, non perché penso sia falso, ma perché mi sembra inutilmente debole, sto parlando della superadditività della misura dei compatti secondo Lebesgue.
In pratica, per costruire la misura di Lebesgue in $R^n$ il libro prima definisce la misura degli intervalli poi quella dei Plurintervalli, e poi definisce la misura degli aperti e dei compatti, ...
Ciao a tutti.
\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle \mathcal{H} \) uno spazio di Hilbert, \(\displaystyle M\subset \mathcal{H} \) un sottoinsieme convesso, e \(\displaystyle \{x_n\}\in M \) tale che \(\|x_n\|\to d=\inf_{x\in M}\Vert x\Vert \). Dimostrare che \(\displaystyle x_n \) converge in \(\displaystyle \mathcal{H} \).
Usando l'uguaglianza del parallelogrammo e la convessità di $M$, si ha: \[\displaystyle \Vert x_n-x_m\Vert^2=2\Vert x_n\Vert^2+2\Vert ...
Ciao a tutti.
Sapete mica darmi una mano su come determinare la derivata distribuzionale di una funzione \( f\in BV([a,b]) \) (a variazione limitata).
Il mio prof mi ha fatto un discorso che non ho capito. Forse perché ho un po' di lacune sulle funzioni BV.
Una funzione \( f\in BV([a,b]) \) è limitata su $[a,b]$ e quindi sta in $l^1([a,b])$ e di conseguenza posso considerare l'immersione $j$ di $f$ nelle distribuzioni. Allora ha senso chiedersi chi è ...
Ciao a tutti. Vorrei proporre qualche esercizio, per cambiare un po' argomento, sulle distribuzioni. (mi serve impratichirmi un po' anche con queste, so che salto un po' di palo in frasca).
\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle H\in\mathcal{D}^*(\mathbb{R}^1) \) la distribuzione data dalla funzione di Heaviside, \[\displaystyle H(x)=\begin{cases} 1 & x>0, \\ 0 & x\le 0.\end{cases} \] Se \(\displaystyle h_n(x) \) è una successione di funzioni tale che \(\int h_n(x)\varphi(x) \ ...
Ciao a tutti e grazie da subito per l'attenzione
Sto affrontando alcuni esercizi sulle serie di Laurent e ne ho incontrato uno in cui mi viene richiesta la parte principale dello sviluppo della serie di Laurent di:
[tex]f(z) = \frac{1}{(1 - cosh(z))^2}[/tex]
in $z=0$
la prima tentazione che ho avuto è stata quella di sostituire $cosh(z)=t$ e riportarmi a una serie più semplice da trattare calcolando poi i residui con $t \rightarrow 1$. Però per questa strada non sono riuscito ...
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