Analisi superiore

Considero una funzione $u(t,x)\inC^2(RR^+ \times RR^n)$ e fisso $t_0\inRR^+$, $x_0 \in RR^n$ e $c\inRR$. Definisco $e(t)=1/2\int_{B(x_0,c(t_0-t))} \{u_t^2+c^2\abs{\nablau}^2 \} dx$ per $t\in[0,t_0]$, dove $B(x_0,c(t_0-t))$ è la palla di centro $x_0$ e raggio $c(t_0-t)$. Come posso provare che $e'(t)= \int_{B(x_0,c(t_0-t))} \{u_t u_{t t} + c^2 \nablau \nabla u_t \} dx -c/2 \int_{\partial B(x_0,c(t_0-t))} \{u_t^2+ c^2 \abs{\nablau}^2 \} dx$?

Salve a tutti, avrei bisogno di un piccolo aiuto. Sto facendo un esercizio e nel testo ad un certo punto mi dice di usare la seguente identità: \[e^{-2i\gamma t} J_{\left|n\right|}(2\gamma t) = e^{\frac{\pi i}{2}} \sum_{k=|n|}^{\infty} \frac{(-i\gamma t)^k}{k!}\binom{2t}{k-n}\] Ora, tralasciando le varie costanti, non riesco a trovare questa identità da nessuna parte. L'unica che penso si possa avvicinare è questa che ho trovato: \[ J_\nu(z)=\sum_{n=0}^{\infty} ...

Domanda veloce: il duale di uno spazio di Banach uniformemente convesso è uniformemente convesso? Vale l'inverso (cioè se il duale è uniformemente convesso, anche lo spazio è uniformemente convesso) ?

Ciao a tutti, volevo chiedere un'informazione e un aiuto su questo esercizio. Posto $ z = x +iy $ , sia $ f(z)= u(x,y) + iv(x,y) = (x-i3y)/(x^2+y^2) $ stabilire se f è olomorfa su $ CC $ \ {0}. ho verificato le condizioni di Cauchy-Riemann: $ (partialu) /(partialx)= (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 $ $ (partialv) /(partialy)= 3(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 $ $ (partialu) /(partialy)= -(xy)/(x^2+y^2)^2 $ $ (partialv) /(partialx)= -(6xy)/(x^2+y^2)^2 $ qua mi blocco e non so come concludere l'esercizio. qualcuno mi può aiutare? grazie mille

Premesso che non studio matematica (penso che molti di voi l'avranno capito, ma lo ribadisco ) sto seguendo un corso in cui abbiamo fatto una carrellata di due settimane sulla teoria di misura per introdurre la teoria dell'integrazione di Lebesgue. Non state fornite dimostrazioni dei teoremi. Quindi se pensate che non si possa rispondere alle mie domande data la mia preparazione mi metterò l'anima in pace. Espongo i dubbi che mi sono venuti per adesso. 1) Sia $(\Omega, M, \mu)$ spazio di ...

Salve a tutti, propongo quest esercizio che ha causato abbastanza problemi a me ai miei colleghi nel corso di Analisi Reale. Considerando la seguente variante della funzione massimale definita per $f\in L^1(RR^2)$: \[ f_\mathcal{R}^* (x) := \sup_{R\in\mathcal{R}(x)} \frac{1}{|R|} \int_R|f(y)|\ \text{d}y \] con $x\in RR^2$ e dove \(\mathcal{R}(x)\) rappresenta la famiglia di rettangoli $R$ contenenti $x$ (quindi non solo quelli centrati in $x$) ...

Buongiorno. Posto il testo di un esercizio con cui ho difficoltà. Dato l'operatore $A=-d^2/dx^2$ agente sulla varietà lineare, densa in $L_2[a,b]$, delle funzioni $f$ tali che $Af in L_2[0,L]$, con $f(0)=f(L)=0$, mostrare che $A$ è autoaggiunto in tale spazio e determinarne autovalori e autofunzioni. Allora, ho dimostrato che $A$ è autoaggiunto e ho scritto l'equazione agli autovalori $(lambdaI-A)f=0$ cioè, ponendo ...

Buongiorno, riporto il testo di un esercizio con cui ho difficoltà nello svolgimento. Calcolare l'integrale $int_gamma (z^2-4)^-1dz$ dove $gamma$ è un qualunque contorno che, partendo da $-2i$, arriva a $2i$, girando una volta in senso orario intorno a $2$ senza includere $-2$. Il mio problema è riuscire a parametrizzare il contorno $gamma$. Ho provato a scriverlo come somma di tre pezzi $gamma=lambda_1+gamma_R+lambda_2$ dove ...

Buongiorno Ho un dubbio riguardo un esercizio: devo calcolare il residuo di $ f(z) = 1/(z^2-3z+2) $ in $2$ determinando il coefficiente di $(z-2)^(-1)$ negli sviluppi di Laurent nelle corone circolari $ abs(z-2)<1$ e $ abs(z-2) >1$. Per quanto riguarda la prima corona, considerando $f(z) $ come $ - 1/(z-1) + 1/(z-2)$, centrando in 2, ho ottenuto $f(z) = 1/(z-2) + sum_0^(+infty) (-1)^n (z-2)^n$, per cui il residuo in 2 è 1. Sviluppando nella seconda circolare, però, ho $f(z) =1/(z-2) + sum_0^(+infty) (-1)^(n+1) (z-2)^ (-n-1)$, quindi il ...

Ciao! Prima antepongo il problema: siano $X$ un insieme, $F$ un'algebra in $X$ e $p:F->[0,+infty]$ una misura $sigma-$additiva. Allora esistono una sigma algebra $Sigma$ che contiene $F$ e una misura $mu^(star):Sigma->[0,+infty]$ che estende $p$? al fine di risolvere questo problema si passa per il concetto di misura esterna e in particolare si dimostra che la funzione seguente sia una misura ...

Ciao! Non riesco a concludere una dimostrazione: Dato uno spazio di misura $(X,Sigma,mu)$ con $Sigma$ una $sigma-$algebra e $mu$ una misura $sigma-$additiva Sia ${A_i}_(i in NN)$ una successione di insiemi in $Sigma$: voglio mostrare che $lim_(n->+infty)mu(bigcup_(k=1)^(n)A_k)=mu(bigcup_(k=1)^(infty)A_k)$ Sicuramente è vero che $lim_(n->+infty)mu(bigcup_(k=1)^(n)A_k)leqmu(bigcup_(k=1)^(infty)A_k)$ Se almeno un $A_k$ ha misura infinita quella uguaglianza sussiste in quanto $mu(A_k)$ costringe tutte e due a divergere. Se ...

Buongiorno a tutti chiedo aiuto per la risoluzione di un integrale che non riesco a capire. Il passaggio che non capisco è l'ultimo ovvero come mai l'integrale sull'asse reale è la metà di quello su gamma piccolo, so che la cosa è inerente al taglio tra z1 e z2 ma non so come mostrarlo. Se qualcuno è in grado di aiutarmi lo ringrazio.

Ciao! ho trovato il seguente esercizio, ovviamente senza soluzione: siano $(X,Sigma)$ e $(Y,F)$ due spazi misurabili($F,Sigma$ $sigma-$algebre non banali) e sia $f:X->Y$ una funzione misurabile. se $AsubseteqX$ allora $g:=f_(|A)$ è misurabile sulla $sigma-$algerbra $Sigma'$ indotta da $Sigma$ su $A$ per intenderci $Sigma':={AcapM : M in Sigma}$ e l'ho svolto così sia $M in F$: per misurabilità di ...

Salve, il libro di testo di geometria differenziale che sto seguendo introduce il seguente lemma " Sia $x:U \subset R^2 \rightarrow R^n$ una mappa (che possiede tutte le derivate parziali e continue) regolare (cioè che in ogni punto di $U$ la matrice jacobiana ha rango 2) con $U$ aperto. Sia $q \in U$ Allora esiste un intorno $U_q$ di $q$ tale che $x:U_q \rightarrow x(U_q)$ è la restrizione di un diffeomorfismo tra ...

Ciao! Sto studiando la misura di Lebesgue su $RR$ e mi sono imbattuto nella dimostrazione riguardante la sub-additività: pagina 32-33(teorema3) del De Barra. In particolare è sottintesa la seguente cosa: Se per ogni $i in NN$ si ha ${I_(i,j)}_(j inNN)$ successione di intervalli del tipo $I=[a,b)$ e $l(I)=b-a$ la sua lunghezza $m(bigcup_(i=1)^(infty)bigcup_(j=1)^(infty)I_(i,j))leqsum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(infty)l(I_(i,j))$ Però non mi pare così intuitiva come cosa Sicuramente è vero che $forall i inNN, m(bigcup_(j=1)^(infty)I_(i,j))leqsum_(j=1)^(infty)l(I_(i,j))$ Poiché per ogni ...

Buongiorno a tutti, Sto studiando la teoria di Segnali ed immagini ad informatica. Stiamo definendo i segnali e la loro tassonomia dividendo i segnali temporali da quelli spaziali da quelli frequenziali e così via in base "dove" spazia la variabile indipendente. Riguardo ai segnali spaziali abbiamo detto che tipicamente sono bidimensionali, ovvero segnali in cui il dominio è contenuto in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), e che si prestano molto bene alla rappresentazione delle immagini. Mi ...

Salve, ho da poco cominciato a studiare per l'esame di metodi matematici per l'ingegneria. Leggo che una funzione Analitica è Olomorfa e che vale anche il viceversa. Ho visto la dimostrazione della seconda implicazione e l'ho capita. Ho problemi sulla prima poichè non viene riportata e non sono sicuro se ho appreso bene le nozioni precedenti. Ho pensato che essendo f analitica allora essa è di classe $ C^oo $. Ora nella definizione di funzione Olomorfa leggo: Sia ...

Ciao, potete buttare un occhio a questi esercizi? i) Siano \(\displaystyle a_1,...,a_n \) punti sulla circonferenza unitaria \(\displaystyle \mathcal{C} \). Mostrare che esiste un punto \(\displaystyle z\in\mathcal{C} \) tale che il prodotto delle distanze tra \(\displaystyle z \) e \(\displaystyle a_j \) è almeno \(\displaystyle 1 \). Sia \(f(z)=\prod_{j=1}^n(z-a_j) \) definita sull'insieme aperto \(\displaystyle \Omega=\{z\in\mathbb{C} : |z|

Ciao, dovrei dimostrare che una funzione che soddisfa CR è olomorfa; riporto la dimostrazione dell'implicazione inversa del mio libro: "Serge Lang": Sia \(\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \) una funzione olomorfa definita su un aperto \(\displaystyle U\subset\mathbb{C} \). Fissato \(\displaystyle z\in U \), sia \(\displaystyle f'(z)=a+ib \). Sia infine \(\displaystyle w=h+ik \), con \(\displaystyle h, k \) numeri reali. Per definizione di derivata, si ha \(\displaystyle ...

Ciao garazzi stavo continuando a studiare un po' per i fatti miei teoria della misura e mi sono imbattuto in un argomento fatto dalla prof sulle successioni di funzioni misurabili, però solo per successioni di funzioni $f:RR->RR$. La affermazione incriminata è la seguente: sia $f_n:RR->RR$ una successione di funzioni misurabili. Se $f_n ->g$ puntualmente, allora $g$ è misurabile L'affermazione è anche causa della seguente domanda(a me stesso): presi ...