Derivata distribuzionale del $\ln|x|$
Ciao a tutti.
Vi sembra giusto il ragionamento/conto che ho fatto per determinare la derivata distribuzionale della funzione:
Con \( j:L^1_{loc}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathcal{D'}(\mathbb{R}) \) indico l'immersione delle funzioni localmente integrabili nello spazio delle distribuzioni.
Osserviamo che $f$ è una funzione localmente integrabile perché $f$ continua su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \ln{|x|}=-\infty \) di ordine inferiore ad ogni potenza e quindi per la teoria degli integrali impropri \( \int_{K} |\ln{|x|}|dx \) converge per qualunque compatto $K$.
Allora possiamo immergere $f$ nelle distribuzioni ed ha senso calcolare la derivata distribuzionale di $j(f)$.
Sia \( \phi \in\mathcal{D(\mathbb{R})} \) (lo spazio delle funzioni \( C^{\infty} \) a supporto compatto) con $\text{supp}(\phi)\subseteq (a,b)$, si ha che
\( \begin{align*}j(f)'(\phi)&=-j(f)(\phi ')=\\
&=-\displaystyle \int_{\mathbb{R}}\ln{|x|\phi'(x)dx}=[-\ln{|x|}\phi(x)]^{b}_{a}+\int_{a}^{b}\frac{\phi(x)}{x}dx&=\\
&=-\ln{|b|}\phi(b)+\ln{|a|}\phi(a)+\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x}dx&=\\
&=\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x}dx=v.p.(\frac{1}{x}) \end{align*}\)
Secondo voi i passaggi sono giusti o ci sono delle imprecisioni?
Vi sembra giusto il ragionamento/conto che ho fatto per determinare la derivata distribuzionale della funzione:
\( f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb{R}\quad\text{tale che}\quad f(x)=\ln{|x|} \)
Con \( j:L^1_{loc}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathcal{D'}(\mathbb{R}) \) indico l'immersione delle funzioni localmente integrabili nello spazio delle distribuzioni.
Osserviamo che $f$ è una funzione localmente integrabile perché $f$ continua su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \ln{|x|}=-\infty \) di ordine inferiore ad ogni potenza e quindi per la teoria degli integrali impropri \( \int_{K} |\ln{|x|}|dx \) converge per qualunque compatto $K$.
Allora possiamo immergere $f$ nelle distribuzioni ed ha senso calcolare la derivata distribuzionale di $j(f)$.
Sia \( \phi \in\mathcal{D(\mathbb{R})} \) (lo spazio delle funzioni \( C^{\infty} \) a supporto compatto) con $\text{supp}(\phi)\subseteq (a,b)$, si ha che
\( \begin{align*}j(f)'(\phi)&=-j(f)(\phi ')=\\
&=-\displaystyle \int_{\mathbb{R}}\ln{|x|\phi'(x)dx}=[-\ln{|x|}\phi(x)]^{b}_{a}+\int_{a}^{b}\frac{\phi(x)}{x}dx&=\\
&=-\ln{|b|}\phi(b)+\ln{|a|}\phi(a)+\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x}dx&=\\
&=\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x}dx=v.p.(\frac{1}{x}) \end{align*}\)
Secondo voi i passaggi sono giusti o ci sono delle imprecisioni?
Risposte
Dunque il risultato è corretto ma dovresti spezzare l'integrale su \( \mathbb{R} \) da \(- \infty \) a \( 0 \) e da \( 0 \) a \(+ \infty \) e usare la def di integrale in valor principale (Il supporto della funzione test potrebbe contenere l'origine!)
"Bremen000":
Dunque il risultato è corretto ma dovresti spezzare l'integrale su \( \mathbb{R} \) da \(- \infty \) a \( 0 \) e da \( 0 \) a \(+ \infty \) e usare la def di integrale in valor principale (Il supporto della funzione test potrebbe contenere l'origine!)
Ti ringrazio ma ho scoperto che in realtà non sono manco nelle ipotesi per poter applicare l'integrazione per parti. Sarebbe meglio forse passare al limite usando convergenza dominata e supponendo che \( supp(\phi)\subseteq(-A,A) \)
\( \displaystyle\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+} (\int_{-A}^{-\epsilon}\ln{|x|}\phi(x)dx+\int_{\epsilon}^{A}\ln{|x|}\phi(x)dx) \)
ora posso integrare per parti e andare avanti in qualche modo
Mah secondo me non c'è bisogno di nessuna convergenza dominata, sia \(f(x):= \ln|x| \) e sia \( \phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) :
\[ \langle f' , \phi \rangle =- \langle f , \phi' \rangle= -\int_{\mathbb{R}}\ln|x|\phi'(x)dx = -\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \Biggl ( \int_{-1/\epsilon}^{-\epsilon} \ln(-x)\phi'(x)dx +\int_{\epsilon}^{-1/\epsilon}\ln(x)\phi(x)dx \Biggr ) \]
qui sto usando la definizione di integrale in valor principale. Il supporto di \( \phi \) sarà contenuto in un intervallo del tipo \( (-R,R ) \) per qualche \( R>0 \) e dunque
\[ \langle f' , \phi \rangle = -\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \Biggl ( \int_{-R}^{-\epsilon} \ln(-x)\phi'(x)dx +\int_{\epsilon}^{R}\ln(x)\phi'(x)dx \Biggr ) \]
Ora negli intervalli \( (-R,\epsilon) \) e \( (\epsilon, R ) \) le funzioni integrande sono \( C^{\infty} \) e puoi usare tutte le integrazioni per parti che vuoi, da cui:
\[ \langle f' , \phi \rangle = -\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \Biggl ( \ln(\epsilon)\phi(-\epsilon) -\ln(R)\phi(-R) +\ln(R)\phi(R) - \ln(\epsilon)\phi(\epsilon)- \int_{-R}^{-\epsilon} -\frac{1}{x} \phi(x)dx -\int_{\epsilon}^{R} \frac{1}{x} \phi(x)dx \Biggr ) \]
Il secondo e il terzo addendo all'interno della tonda sono nulli. Se dimostri che
\[ \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \ln(\epsilon) (\phi(\epsilon)-\phi(-\epsilon)) =0 \]
allora concludi che
\[ \langle f' , \phi \rangle = \langle \text{v.p. } \biggl ( \frac{1}{x} \biggr ) , \phi \rangle \]
\[ \langle f' , \phi \rangle =- \langle f , \phi' \rangle= -\int_{\mathbb{R}}\ln|x|\phi'(x)dx = -\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \Biggl ( \int_{-1/\epsilon}^{-\epsilon} \ln(-x)\phi'(x)dx +\int_{\epsilon}^{-1/\epsilon}\ln(x)\phi(x)dx \Biggr ) \]
qui sto usando la definizione di integrale in valor principale. Il supporto di \( \phi \) sarà contenuto in un intervallo del tipo \( (-R,R ) \) per qualche \( R>0 \) e dunque
\[ \langle f' , \phi \rangle = -\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \Biggl ( \int_{-R}^{-\epsilon} \ln(-x)\phi'(x)dx +\int_{\epsilon}^{R}\ln(x)\phi'(x)dx \Biggr ) \]
Ora negli intervalli \( (-R,\epsilon) \) e \( (\epsilon, R ) \) le funzioni integrande sono \( C^{\infty} \) e puoi usare tutte le integrazioni per parti che vuoi, da cui:
\[ \langle f' , \phi \rangle = -\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \Biggl ( \ln(\epsilon)\phi(-\epsilon) -\ln(R)\phi(-R) +\ln(R)\phi(R) - \ln(\epsilon)\phi(\epsilon)- \int_{-R}^{-\epsilon} -\frac{1}{x} \phi(x)dx -\int_{\epsilon}^{R} \frac{1}{x} \phi(x)dx \Biggr ) \]
Il secondo e il terzo addendo all'interno della tonda sono nulli. Se dimostri che
\[ \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \ln(\epsilon) (\phi(\epsilon)-\phi(-\epsilon)) =0 \]
allora concludi che
\[ \langle f' , \phi \rangle = \langle \text{v.p. } \biggl ( \frac{1}{x} \biggr ) , \phi \rangle \]
Mi piace come questa cosa è spiegata sul libro di Folland (Real Analysis). Folland dice che questa del valore principale è una normalizzazione analoga a quelle della teoria quantistica dei campi, dove si sottraggono due infiniti di segno opposto e si ottiene zero, e tutto funziona. È un po' questa l'idea dietro il valore principale, due infiniti di segno opposto che si annullano, SE uno calcola gli integrali nel modo giusto (ovvero, prendendo il limite per \(\epsilon \to 0\) che abbiamo visto prima).
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